专题05分段函数专项突破一分段函数函数值(解析式)1.若为奇函数,则( )A.-8 B.-4 C.-2 D.0【解析】因为为奇函数,所以,又,可得.故选:A.2.已知函数,则( )A.0 B. C. D.1【解析】由题意,函数,可得=,因为,所以,故选:B3.设是定义域为R,最小正周期为的函数,若,则的值等于( )A. B. C.0 D.【解析】因为是定义域为R,最小正周期为的函数,,所以,故选:B4.已知函数且,则( )A. B. C. D.【解析】∵,∴,由,知.于是.故选:A5.已知函数,则______.【解析】由解析式,,所以.6.已知函数,则___________.【解析】,,即,.7.已知定义域为的奇函数,当x>0时,有,则______.【解析】上的奇函数,则有,而当x>0时,有,于是有,,,因,,则有,,所以.8.函数,,若,则________.【解析】因为,,所以.当时,,解得:;当时,,无解.所以.所以9.对于实数a和b,定义运算“*”:,设.(1)求的解析式;(2)关于x的方程恰有三个互不相等的实数根,求m的取值范围.【解析】(1)由可得,由可得,所以根据题意得,即.(2)作出函数的图象如图,当时,开口向下,对称轴为,所以当时,函数的最大值为,因为方程恰有三个互不相等的实数根,所以函数的图象和直线有三个不同的交点,可得的取值范围是.专项突破二分段函数定义域和值域1.已知函数,若∃∈R,使得成立,则实数m的取值范围为( )A. B. C. D.【解析】x<2时,f(x)=,x>2时,f(x)=>1,故,∴,解得.故选:B.2.已知的最小值为2,则的取值范围为( )A. B. C. D.【解析】当时,,又因为的最小值为2,,所以需要当时,恒成立,所以在恒成立,所以在恒成立,即在恒成立,令,则,原式转化为在恒成立,是二次函数,开口向下,对称轴为直线,所以在上最大值为,所以,故选:D.3.(多选)设函数则( )A.的定义域为 B.的值域为C.的单调递增区间为 D.的解集为【解析】因为函数,所以的定义域为,故A正确;当时,,当时,,所以的值域为,故B错误;如图所示:当时,的单调递增区间为,当时,的单调递增区间为,但在上不单调,故C错误;当时,,解得,当时,,解得,D正确.故选:AD.4.(多选)已知函数,关于函数的结论正确的是( )A.的定义域为R B.的值域为C.若,则x的值是 D.的解集为【解析】函数,定义分和两段,定义域是,故A错误;时,值域为,时,,值域为,故的值域为,故B正确;由值的分布情况可知,在上无解,故,即,得到,故C正确;时令,解得,时,令,解得,故的解集为,故D错误.故选:BC.5.函数的值域为____________.【解析】当时,,其值域为:当时,,其值域为:所以函数的值域为:6.函数的值域为___________.【解析】依题意,在上单调递减,则当时,,在上单调递增,则当时,,所以函数的值域为.7.定义运算已知函数,则的最大值为______.【解析】由可得表示与的最小值,又函数在单调递减,在上单调递增,故函数与函数至多有一个交点,且当时,两函数相交,故,故函数在上单调递增,在上单调递减,当时函数取最大值为8.已知、b、都是实数,若函数的反函数的定义域是,则的所有取值构成的集合是________【解析】由其定义域为,因为,所以,(1)当,由解析式可得,当时,;当时,,即的值域为;又函数的反函数的定义域是,所以函数的值域为,因为、b、都是实数,可以大于;因此值域可以为,不满足题意;(2)当时,由解析式可得:当时,;当时,,即的值域为;同(1)可知:函数的值域必须为,因为、b、都是实数,可以大于,因此符合题意;综上:的所有取值构成的集合是.9.若函数的值域为,则的取值范围是____________.【解析】对于,值域是,对于,值域是 ,欲使得,必有,;10.已知函数,,对,用表示,中的较大者,记为,则的最小值为______.【解析】如图,在同一直角坐标系中分别作出函数和的图象,因为对,,故函数的图象如图所示:由图可知,当时,函数取得最小值.专项突破三分段函数单调性1.函数的单调递增区间是( )A. B. C. D.【解析】当时,,开口向下,对称轴为,故其递增区间是;当时,,开口向上,对称轴为,在时,单调递减,综上:的单调递增区间是.故选:A.2.已知函数,则函数是( )A.偶函数,在上单调递增 B.偶函数,在上单调递减C.奇函数,在上单调递增 D.奇函数,在上单调递减【解析】,当时,,则,当时,,则,所以有,则为奇函数.当时,单调递增,由为奇函数,则在上单调递增,且所以在上单调递增,故选:C3.若函数是定义在R上的增函数,则实数m的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】如图,作出函数和的大致图象.,得,解得,,注意到点A是二次函数图象的最低点,所以若,则当时,单调递减,不符合题意;当时符合题意;当时,则,在时函数图象“向下跳跃”,不符合题意;当时,符合题意.所以m的取值范围为:或.故选:D4.设函数,若,则实数______,的单调增区间为______.【解析】因为,则,则,解得.所以,,当时,,此时函数单调递减,当时,由于函数、均为增函数,故函数也为增函数,由于,则函数在连续,所以,函数的单调递增区间为.故答案为:;.5.已知函数,则_____________,函数的单调递减区间是_______.【解析】因函数,则,所以;当时,在上单调递增,在上单调递减,,当时,在上单调递减,且,所以函数的单调递减区间是.故答案为:5;6.函数的单调减区间是______.【解析】去绝对值,得函数当时,函数的单调递减区间为当时,函数的单调递减区间为综上,函数 的单调递减区间为,7.函数的单调递减区间为__________.【解析】当时,,则其在上递减,当时,,则,当时,,所以在上递减,综上,的单调递减区间为,8.已知函数f(x)=(5−a)x−a+1,x<1ax,x≥1,满足对任意都有成立,那么实数的取值范围是________.【解析】由已知可得函数在R上为单调递增函数,则需满足,解得,所以实数a的取值范围为,专项突破四分段函数求参1.设,若,则x的值为( )A.1 B.2 C.8 D.1或8【解析】若时,可得,不满足;若时,可得,满足前提.综上,x的值为8.故选:C2.设,若,则x的值为( )A.3 B.1 C. D.1或3【解析】时,令,解得,时,令,解得,这与矛盾,∴.故选:B3.已知函数是上的减函数,则的取值范围为( )A. B. C. D.【解析】因为函数是上的减函数,所以,解得,选:C4.已知函数,若不等式在上有解,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.【解析】当时,,,.当时,,,.所以为偶函数.又因为在为减函数,在为增函数.所以.因为不等式在上有解,所以,即在上有解,又因为在为减函数,在为增函数,所以.故选:C5.若函数的值域为R,则a的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】由时,,因为函数的值域为R,所以当时,,分两种情况讨论:①当时,,所以只需,解得,所以;②当时,,所以只需,显然成立,所以.综上,的取值范围是.故选:D.6.已知函数与函数的值域相同,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.【解析】因为的值域为,所以的值域为.当时,.当时,①若,即,,此时不满足条件.②若,即,,此时的值域不可能为.③若,即,,要使的值域为,则,即解得:或,又因为,所以.故选:B.7.已知函数若存在最小值,则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】∵函数∴当时,的范围是;当时,,,由题意存在最小值,则,解得.故选:D.8.已知函数若,则实数______.【解析】若,则,解得不合题意;若,则.解得,综上:.9.已知,函数若,则_______.【解析】,当时,,得,故;当时,,故.故答案为:或.10.若函数是R上的减函数,则实数a的取值范围是___.【解析】由题知.11.已知函数,若是上的单调递增函数,则的取值范围是__________.【解析】因函数是上的单调递增函数,因此有,解得,所以.12.已知函数,且是的最小值,则实数a的取值范围是__________.【解析】当时,若,即,有,在上递减,在上递增,则与是的最小值矛盾,若,即,有在上递减,,,则,当时,函数,当且仅当,即时取“=”,因是的最小值,则有,解得,所以a的取值范围为.专项突破五解分段函数不等式1.已知函数,则不等式的解集是( )A. B.C. D.【解析】函数,则不等式等价于或者,解得:,解得:或,于是得或,所以不等式的解集是.故选:A2.已知函数则不等式的解集为( )A.(0,5) B. C. D.(-5,5)【解析】因为时,,故在上为增函数,时,,故在上为增函数,又的图象在处不间断,故为上的增函数,令,则为上的增函数,而,故的解集为.故选:B.3.已知函数若,则的取值范围为( )A. B.C. D.【解析】作出函数的图象,由图象可知,在R上为增函数,由可得,即,选:C.4.设函数,则满足的的取值范围是( )A. B. C. D.【解析】时,单调递增,故,当时,由对勾函数得:在单调递增,且,综上:单调递增,因为,所以,即,设,可知单调递增,且,故,故选:D5.已知函数,则不等式的解集为( )A. B.C. D.【解析】当时,,,且在上递增,当时,,,且在上递增,所以在上有,且函数是上的增函数,于是原不等式可化为,,,得,得,故选:B6.设函数则关于的不等式的解集为______.【解析】因为当时,,则,;同理当时,,,又,综上所述为奇函数,则,即,当时,,解得;当时,,解得,因为,所以.故的解集为7.设函数,若,则实数a的取值范围___________.【解析】因为,所以,则,若,则,即,解得,所以实数a的取值范围为.8.已知函数,则不等式的解集为______.【解析】当时,的解集为,当时,的解集为.所以原不等式的解集为.9.设函数,若,则t的取值范围是___________.【解析】函数在上单调递增,且,当时取“=”,在上单调递增,,因此,函数在上R单调递增,而,则有,解得,所以t的取值范围是.10.设函数则满足不等式的x的取值范围是_____.【解析】易知是增函数,是增函数,又,所以在定义域内是增函数,当时,,,所以,当时,,,,所以成立,综上,不等式的解集是.11.已知,不等式在上恒成立,则的取值范围是____【解析】作出分段函数的图象如图,要使不等式在上恒成立,则在上恒成立,即在上恒成立,∴,解得:.故答案为:
高考数学专题05 分段函数(解析版)
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