2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷ⅱ）（含解析版）

有（ ）2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）A．6种B．12种C．24种D．30种一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）=（ ）11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过F且斜率为的直线交CA．﹣2+4iB．﹣2﹣4iC．2+4iD．2﹣4i于A、B两点，若=4，则C的离心率为（ ）2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x|＜0}，则A∩B=（ ）A．φB．（3，4）C．（﹣2，1）D．（4，+∞）3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（ ）A．B．C．D．4．（5分）函数在点（1，1）处的切线方程为（ ）A．x﹣y﹣2=0B．x+y﹣2=0C．x+4y﹣5=0D．x﹣4y+3=05．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．A．B．C．D．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（ ）正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方A．B．C．5D．25位（ ）7．（5分）设a=log3π，b=log2，c=log3，则（ ）A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞a＞cD．b＞c＞a8．（5分）若将函数y=tan（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（ ）A．南B．北C．西D．下 A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，13．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为 ．若|FA|=2|FB|，则k=（ ）14．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5=5a3，则= ．A．B．C．D．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面第1页（共13页）*得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于 ．19．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2（n∈N）．（1）设bn=an+1﹣2an，证明数列{bn}是等比数列；16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．（2）求数列{a}的通项公式． n三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣ABC中，AB⊥AC，D、E分别为AA、BC的中点，DE⊥平11111面BCC．1（Ⅰ）证明：AB=AC；20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求BC与平面BCD所成的角的大小．1人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．第2页（共13页）21．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．222．（12分）设函数f（x）=x+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞． 第3页（共13页） ．（分）已知△中，，则（ ）2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）35ABCcotA=﹣cosA=参考答案与试题解析A．B．C．D． 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．菁优网版权所有1．（5分）=（ ）【专题】11：计算题．A．﹣2+4iB．﹣2﹣4iC．2+4iD．2﹣4i【分析】利用同角三角函数的基本关系cosA转化成正弦和余弦，求得sinA和cosA的关系式，进而与sin2A+cos2A=1联立方程求得cosA的值．【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有【解答】解：∵cotA=【专题】11：计算题．∴A为钝角，cosA＜0排除A和B，【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母进行乘法运再由cotA==，和sin2A+cos2A=1求得cosA=，算，整理成最简形式，得到结果．故选：D．【解答】解：原式=，【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用．主要是利用了同角三角函数中的平方关系和商故选：A．数关系．【点评】本题考查复数的乘除运算，是一个基础题，在近几年的高考题目中，复数的简单的运算 题目是一个必考的问题，通常出现在试卷的前几个题目中．4．（5分）函数在点（1，1）处的切线方程为（ ） A．x﹣y﹣2=0B．x+y﹣2=0C．x+4y﹣5=0D．x﹣4y+3=02．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x|＜0}，则A∩B=（ ）A．φB．（3，4）C．（﹣2，1）D．（4，+∞）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有【分析】欲求切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合【分析】先化简集合A和B，再根据两个集合的交集的意义求解．导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：A={x||x|＞3}⇒{x|x＞3或x＜﹣3}，B={x|＜0}={x|1＜x＜4}，【解答】解：依题意得y′=，∴A∩B=（3，4），因此曲线在点（1，1）处的切线的斜率等于﹣1，故选：B．相应的切线方程是y﹣1=﹣1×（x﹣1），即x+y﹣2=0，【点评】本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．故选：B．第4页（共13页）【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题． 5．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5G：空间角．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（ ）【分析】由BA1∥CD1，知∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，由此能求出异面直线BE与CD1所形成角的余弦值．A．B．C．5D．25【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，∴BA1∥CD1，∴∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有设AA1=2AB=2，【专题】5A：平面向量及应用．【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对|+|两边平方，变化为有模长和数量积的形则A1E=1，BE==，ab=式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．A1B==，【解答】解：∵|+|=，||=∴cos∠A1BE=∴（+）2=2+2+2=50，=得||=5=．故选：C．【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长∴异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为．的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．故选：C． 7．（5分）设a=log3π，b=log2，c=log3，则（ ）A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞a＞cD．b＞c＞a【考点】4M：对数值大小的比较．菁优网版权所有第5页（共13页）x2【分析】利用对数函数y=loga的单调性进行求解．当a＞1时函数为增函数当0＜a＜1时函数为9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，减函数，若|FA|=2|FB|，则k=（ ）如果底a不相同时可利用1做为中介值．A．B．C．D．【解答】解：∵∵，故选A【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题．【点评】本题考查的是对数函数的单调性，这里需要注意的是当底不相同时可用1做为中介值．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据 |FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，进而可知，进8．（5分）若将函数y=tan（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求（ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（ ）得直线的斜率．A．B．C．D．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，【专题】11：计算题．由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，比较系点B为AP的中点、连接OB，则，数，求出ω=6k+（k∈Z），然后求出ω的最小值．∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，【解答】解：y=tan（ωx+），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x﹣）+]=tan（ωx+）故点B的坐标为，∴﹣ω+kπ=故选：D．∴ω=k+（k∈Z），又∵ω＞0∴ωmin=．故选：D．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，待定系数法的应用，考查计算能力，是常考题． 第6页（共13页）A．B．C．D．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了对抛物线的基础知识的灵活运用． 【考点】I3：直线的斜率；KA：双曲线的定义．菁优网版权所有10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法【专题】11：计算题；16：压轴题．有（ ）【分析】设双曲线的有准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直A．6种B．12种C．24种D．30种线的斜率可知直线的倾斜角，进而推，由双曲线的第二定义ABAB【考点】D5：组合及组合数公式．菁优网版权所有|AM|﹣|BN|=|AD|，进而根据，求得离心率．【专题】11：计算题．【解答】解：设双曲线的右准线为l，【分析】根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案．过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，【解答】解：根据题意，分两步，由直线AB的斜率为，22①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C4C4=36，知直线AB的倾斜角为60°22②两人所选两门都相同的有为C4=6种，都不同的种数为C4=6，∴∠BAD=60°故选：C．，【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用直接法或间接法．由双曲线的第二定义有： 11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过F且斜