2012年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）（含解析版）

年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）20129．（5分）已知x=lnπ，y=log52，，则（ ）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合A．x＜y＜zB．z＜x＜yC．z＜y＜xD．y＜z＜x题目要求的．）10．（5分）已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（ ）1．（5分）复数=（ ）A．﹣2或2B．﹣9或3C．﹣1或1D．﹣3或111．（5分）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也A．2+iB．2﹣iC．1+2iD．1﹣2i互不相同，则不同的排列方法共有（ ）2．（5分）已知集合A={1，3，}，B={1，m}，A∪B=A，则m的值为（ ）A．12种B．18种C．24种D．36种A．0或B．0或3C．1或D．1或312．（5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，，动点P从E3．（5分）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=﹣4，则该椭圆的方程为（ ）出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次A．B．C．D．碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（ ）4．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，CC1=2，E为CC1的中点，则直线AC1与平A．16B．14C．12D．10面BED的距离为（ ） A．2B．C．D．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．（注意：在试5．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为题卷上作答无效）（ ）13．（5分）若x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为 ．A．B．C．D．6．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=14．（5分）当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x= ．（ ）15．（5分）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数A．B．C．D．为 ．7．（5分）已知α为第二象限角，，则cos2α=（ ）16．（5分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，则异面直线A．﹣B．﹣C．D．AB1与BC1所成角的余弦值为 ． 228．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x﹣y=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．∠F1PF2=（ ）17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A﹣C）+cosB=1，a=2c，求A．B．C．D．C．第1页（共13页）18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，20．（12分）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]．E是PC上的一点，PE=2EC．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围．（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．21．（12分）已知抛物线C：y=（x+1）2与圆（r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．19．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球次，依次轮换．每次发球，胜方得分，负方得分．设在甲、乙的比赛中，210222．（12分）函数f（x）=x﹣2x﹣3，定义数列{xn}如下：x1=2，xn+1是过两点P（4，5），Qn（每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛xn，f（xn））的直线PQn与x轴交点的横坐标．中，甲先发球．（Ⅰ）证明：2≤xn＜xn+1＜3；（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）求数列{xn}的通项公式．（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望． 第2页（共13页）【解答】解：由题意A∪B=A，即B⊆A，又，B={1，m}，2012年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）∴m=3或m=，解得m=3或m=0及m=1，参考答案与试题解析验证知，m=1不满足集合的互异性，故m=0或m=3即为所求， 故选：B．一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合【点评】本题考查集合中参数取值问题，解题的关键是将条件A∪B=A转化为B⊆A，再由集合的题目要求的．）包含关系得出参数所可能的取值．1．（5分）复数=（ ） 3．（5分）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=﹣4，则该椭圆的方程为（ ）A．2+iB．2﹣iC．1+2iD．1﹣2iA．B．【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题．C．D．【分析】把的分子分母都乘以分母的共轭复数，得，由此利用复数的代数形式的乘除运算，能求出结果．【考点】K3：椭圆的标准方程；K4：椭圆的性质．菁优网版权所有【解答】解：=【专题】11：计算题．=【分析】确定椭圆的焦点在x轴上，根据焦距为4，一条准线为x=﹣4，求出几何量，即可求得椭圆的方程．=1+2i．【解答】解：由题意，椭圆的焦点在轴上，且故选：C．x【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．∴c=2，a2=8 ∴b2=a2﹣c2=42．（5分）已知集合A={1，3，}，B={1，m}，A∪B=A，则m的值为（ ）∴椭圆的方程为A．0或B．0或3C．1或D．1或3故选：C．【考点】1C：集合关系中的参数取值问题．菁优网版权所有【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，属于基础题．【专题】5J：集合． 【分析】由题设条件中本题可先由条件A∪B=A得出B⊆A，由此判断出参数m可能的取值，再进4．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，CC1=2，E为CC1的中点，则直线AC1与平行验证即可得出答案选出正确选项．面BED的距离为（ ）第3页（共13页）A．2B．C．D．1【考点】85：等差数列的前n项和；8E：数列的求和．菁优网版权所有【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【专题】11：计算题．【分析】由等差数列的通项公式及求和公式，结合已知可求a1，d，进而可求an，代入可得【分析】先利用线面平行的判定定理证明直线C1A∥平面BDE，再将线面距离转化为点面距离，最==，裂项可求和后利用等体积法求点面距离即可【解答】解：设等差数列的公差为d【解答】解：如图：连接AC，交BD于O，在三角形CC1A中，易证OE∥C1A，从而C1A∥平面由题意可得，BDE，∴直线AC1与平面BED的距离即为点A到平面BED的距离，设为h，解方程可得，d=1，a1=1在三棱锥E﹣ABD中，VE﹣ABD=S△ABD×EC=××2×2×=由等差数列的通项公式可得，an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n∴在三棱锥A﹣BDE中，BD=2，BE=，DE=，∴S△EBD=×2×=2==∴VA﹣BDE=×S△EBD×h=×2×h=∴h=1=1﹣=故选：D．故选：A．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，及数列求和的裂项求和方法的应用，属于基础试题 6．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（ ）．．．．【点评】本题主要考查了线面平行的判定，线面距离与点面距离的转化，三棱锥的体积计算方ABCD法，等体积法求点面距离的技巧，属基础题 【考点】9Y：平面向量的综合题．菁优网版权所有5．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为【分析】由题意可得，CA⊥CB，CD⊥AB，由射影定理可得，AC2=AD•AB可求AD，进而可求，（ ）从而可求与的关系，进而可求A．B．C．D．【解答】解：∵•=0，第4页（共13页）∴CA⊥CB∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=，∵CD⊥AB∵α为第二象限角，∵||=1，||=2∴sinα＞0，cosα＜0，∴AB=∴sinα﹣cosα=，②由射影定理可得，AC2=AD•AB∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）∴=（﹣）×=﹣．∴故选：A．∴==【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，突出二倍角的正弦与余弦的应用，求得故选：D．sinα﹣cosα=是关键，属于中档题． 228．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x﹣y=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（ ）【点评】本题主要考查了直角三角形的射影定理的应用，向量的基本运算的应用，向量的数量积A．B．C．D．的性质的应用． 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有7．（5分）已知α为第二象限角，，则cos2α=（ ）【专题】11：计算题．A．﹣B．﹣C．D．【分析】根据双曲线的定义，结合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2的值．【解答】解：将双曲线方程x2﹣y2=2化为标准方程﹣=1，则a=，b=，c=2，【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有【专题】56：三角函数的求值．设|PF1|=2|PF2|=2m，则根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a可得m=2，【分析】由α为第二象限角，可知sinα＞0，cosα＜0，从而可求得sinα﹣cosα=，利用cos2α=﹣∴|PF1|=4，|PF2|=2，∵|F1F2|=2c=4，（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）可求得cos2α【解答】解：∵+，两边平方得：+，sinαcosα=1sin2α=∴cos∠F1PF2====．∴sin2α=﹣，①故选：C．第5页（共13页）【点评】本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题．∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减， ∴函数在x=﹣1处取得极大值，在x=1处取得极小值．∵函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，9．（5分）已知x=lnπ，y=log52，，则（ ）∴极大值等于0或极小值等于0．A．x＜y＜zB．z＜x＜yC．z＜y＜xD．y＜z＜x∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0，∴c=﹣2或2．【考点】72：不等式比较大小．菁优网版权所有故选：A．【专题】11：计算题；16：压轴题．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，解题的关键是利用极大值等于0【分析】利用x=lnπ＞1，0＜y=log52＜，1＞z=＞，即可得到答案．或极小值等于0． 【解答】解：∵x=lnπ＞lne=1，11．（5分）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也0＜log52＜log5=，即y∈（0，）；互不相同，则不同的排列方法共有（ ）．种．种．种．种1=e0＞=＞=，即z∈（，1），A12B18C24D36∴y＜z＜x．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有故选：D．【专题】11：计算题；16：压轴题．【点评】本题考查不等式比较大小，掌握对数函数与指数函数的性质是解决问题的关键，属于基【分析】由题意，可按分步原理计数，对列的情况进行讨论比对行讨论更简洁．础题．【解答】解：由题意，可按分步原理计数， 首先，对第一列进行排列，第一列为a，b，c的全排列，共有种，10．（5分）已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（ ）再分析第二列的情况，当第一列确定时，第二列第一行只能有2种情