2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅱ）（含解析版）

（ ）2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|（x﹣1）2＜4，x∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，则M∩N=（ ）A．B．A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，2，3}D．{0，1，2，3}2．（5分）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（ ）A．﹣1+iB．﹣1﹣iC．1+iD．1﹣iC．D．3．（5分）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（ ）8．（5分）设a=log36，b=log510，c=log714，则（ ）A．B．C．D．A．c＞b＞aB．b＞c＞aC．a＞c＞bD．a＞b＞c4．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄．（分）已知＞，实数，满足：，若+的最小值为，则（ ）β，则（ ）95a0xyz=2xy1a=A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βA．2B．1C．D．C．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l10．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（ ）5．（5分）已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a=（ ）A．∃x0∈R，f（x0）=0A．﹣4B．﹣3B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形C．﹣2D．﹣1C．若x是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x）单调递减6．（5分）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出00D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0的S=（ ）11．（5分）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的A．圆过点（0，2），则C的方程为（ ）B．A．y2=4x或y2=8xB．y2=2x或y2=8xC．C．y2=4x或y2=16xD．y2=2x或y2=16x12．（5分）已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为D．面积相等的两部分，则b的取值范围是（ ）7．（5分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是A．（0，1）B．C．D．（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体 三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为第1页（共17页）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．19．（12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每亏损元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方13．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则•= ．1t300图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以x（单位：t，100≤x≤14．（5分）从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产率为，则n= ．品的利润．15．（5分）设θ为第二象限角，若tan（θ+）=，则sinθ+cosθ= ．16．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10=0，S15=25，则nSn的最小值为 ． 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤：17．（12分）△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．（Ⅰ）将T表示为x的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x∈[100，110））则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110）的频率，求T的数学期望．．（分）如图，直棱柱中，，分别是，的中点，．1812ABC﹣A1B1C1DEABBB1AA1=AC=CB=AB（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．第2页（共17页）选考题：（第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答．请考生在第22、23、24题中任选20．（12分）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分评分，作答时请写清题号）=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．22．（10分）【选修4﹣1几何证明选讲】如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上（Ⅰ）求M的方程的点，且BC•AE=DC•AF，B、E、F、C四点共圆．（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．（1）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（2）若DB=BE=EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．21．（12分）已知函数f（x）=ex﹣ln（x+m）（Ι）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；23．已知动点P、Q都在曲线（β为参数）上，对应参数分别为β=α与β=2α（0＜α（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0．＜2π），M为PQ的中点． （1）求M的轨迹的参数方程；（2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．第3页（共17页）24．【选修4﹣﹣5；不等式选讲】设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：（Ⅰ）（Ⅱ）． 第4页（共17页）∴z==﹣1+i2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）故选：A．参考答案与试题解析【点评】本题考查代数形式的除法运算，是一个基础题，这种题目若出现一定是一个送分题目， 注意数字的运算．一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的．3．（5分）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（ ）1．（5分）已知集合M={x|（x﹣1）2＜4，x∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，则M∩N=（ ）A．B．C．D．A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，2，3}D．{0，1，2，3}【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有【考点】1E：交集及其运算；73：一元二次不等式及其应用．菁优网版权所有【专题】54：等差数列与等比数列．【专题】11：计算题．【分析】设等比数列{an}的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到【分析】求出集合M中不等式的解集，确定出M，找出M与N的公共元素，即可确定出两集合，解出即可．的交集．【解答】解：由（x﹣1）2＜4，解得：﹣1＜x＜3，即M={x|﹣1＜x＜3}，【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵N={﹣1，0，1，2，3}，∵S3=a2+10a1，a5=9，∴M∩N={0，1，2}．故选：A．∴，解得．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． ∴．2．（5分）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（ ）故选：C．A．﹣1+iB．﹣1﹣iC．1+iD．1﹣i【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键． 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有4．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄【专题】11：计算题．β，则（ ）【分析】根据所给的等式两边同时除以1﹣i，得到z的表示式，进行复数的除法运算，分子和分母A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥β同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果．C．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l【解答】解：∵复数z满足z（1﹣i）=2i，第5页（共17页）【考点】LJ：平面的基本性质及推论；LQ：平面与平面之间的位置关系．菁优网版权所有6．（5分）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（ ）【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．【解答】解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选：D．【点评】本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题． A．B．5．（5分）已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a=（ ）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1C．D．【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计．【专题】27：图表型．【分析】由题意利用二项展开式的通项公式求得展开式中2的系数为+，由此解得的xa•=5a【分析】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框值．图表示的算法的功能．【解答】解：已知（1+ax）（1+x）5=（1+ax）（1+x+x2+x3+x4+x5）【解答】解：框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，S=0+1=1，k=1+1=2；展开式中x2的系数为+a•=5，解得a=﹣1，判断k＞10不成立，执行S=1+，k=2+1=3；故选：D．判断＞不成立，执行++，+；【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，k10S=1k=31=4属于中档题．判断k＞10不成立，执行S=1+++，k=4+1=5； …第6页（共17页）判断i＞10不成立，执行S=，k=10+1=11；判断i＞10成立，输出S=．算法结束．故选：B．一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律．故选：A． 7．（5分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）【点评】本题考查几何体的三视图的判断，根据题意画出几何体的直观图是解题的关键，考查空间想象能力． A．B．8．（5分）设a=log36，b=log510，c=log714，则（ ）A．c＞b＞aB．b＞c＞aC．a＞c＞bD．a＞b＞c【考点】4M：对数值大小的比较．菁优网版权所有C．D．【专题】11：计算题．【分析】利用loga（xy）=logax+logay（x、y＞0），化简a，b，c然后比较log32，log52，log72大【考点】L7：简单空间图形的三视图．菁优网版权所有小即可．【专题】11：计算题；13：作图题．【解答】解：因为a=log36=1+log32，b=log510=1+log52，c=log714=1+log72，【分析】由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx平面为投影面，则得到正视图即可．因为y=log2x是增函数，所以log27＞log25＞log23，【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），∵，，（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的所以log32＞log52＞log72，所以a＞b＞c，故选：D．【点评】本题主要考查不等式与不等关系，对数函数的单调性的应用，不等式的基本性质的应第7页（共17页）用，属于基