2010年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版ⅱ）（含解析版）

．．．．2010年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版Ⅱ）A1BC2D3一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）10．（5分）若曲线y=在点（a，）处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则1．（5分）复数（）2=（ ）a=（ ）A．64B．32C．16D．8A．﹣3﹣4iB．﹣3+4iC．3﹣4iD．3+4i11．（5分）与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（ ）2．（5分）函数的反函数是（ ）A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无数个A．y=e2x﹣1﹣1（x＞0）B．y=e2x﹣1+1（x＞0）12．（5分）已知椭圆T：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）C．y=e2x﹣1﹣1（x∈R）D．y=e2x﹣1+1（x∈R）3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（ ）的直线与T相交于A，B两点，若=3，则k=（ ）A．1B．C．D．2A．1B．2C．3D．4 4．（5分）如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（ ）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）A．14B．21C．28D．3513．（5分）已知a是第二象限的角，tan（π+2α）=﹣，则tanα= ．5．（5分）不等式＞0的解集为（ ）14．（5分）若（x﹣）9的展开式中x3的系数是﹣84，则a= ．A．{x|x＜﹣2，或x＞3}B．{x|x＜﹣2，或1＜x＜3}15．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交C．{x|﹣2＜x＜1，或x＞3}D．{x|﹣2＜x＜1，或1＜x＜3}6．（5分）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2于A，与C的一个交点为B，若，则p= ．张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ）16．（5分）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共A．12种B．18种C．36种D．54种弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN= ．7．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin（2x+）的图象（ ） 三、解答题（共6小题，满分70分）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位17．（10分）△ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，sinB=，cos∠ADC=，求AD．C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位8．（5分）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若=，=，||=1，||=2，则=（ ）A．+B．+C．+D．+9．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）第1页（共12页）21．（12分）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且2n18．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn=（n+n）•3．BD的中点为M（1，3）．（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：++…+＞3n．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|=17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1．（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小．22．（12分）设函数f（x）=1﹣e﹣x．（Ⅰ）证明：当x＞﹣1时，f（x）≥；（Ⅱ）设当x≥0时，f（x）≤，求a的取值范围． 20．（12分）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T，T，T，T，电流能通过T，12341T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求P；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．第2页（共12页）【解答】解：由原函数解得x=e2y﹣1+1，2010年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版Ⅱ）∴f﹣1（x）=e2x﹣1+1，参考答案与试题解析又x＞1，∴x﹣1＞0； ∴ln（x﹣1）∈R∴在反函数中x∈R，一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）故选：D．1．（5分）复数（）2=（ ）【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交A．﹣3﹣4iB．﹣3+4iC．3﹣4iD．3+4i换x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成整式形3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（ ）式，再进行复数的乘方运算，合并同类项，得到结果．A．1B．2C．3D．4【解答】解：（）2[]2（）2．==1﹣2i=﹣3﹣4i故选：A．【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有【点评】本题主要考查复数的除法和乘方运算，是一个基础题，解题时没有规律和技巧可寻，只【专题】31：数形结合．要认真完成，则一定会得分．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线 z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到m值即可．2．（5分）函数的反函数是（ ）【解答】解：作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y=x与3x+2y=5的交点为最优解点，A．y=e2x﹣1﹣1（x＞0）B．y=e2x﹣1+1（x＞0）∴即为B（1，1），当x=1，y=1时zmax=3．C．y=e2x﹣1﹣1（x∈R）D．y=e2x﹣1+1（x∈R）故选：C．【考点】4H：对数的运算性质；4R：反函数．菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】从条件中中反解出x，再将x，y互换即得．解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换位，2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．第3页（共12页）【点评】本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有4．（5分）如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（ ）【专题】11：计算题．A．14B．21C．28D．35【分析】本题是一个分步计数问题，首先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩2下的4个数中选两个放一个信封有C4，余下放入最后一个信封，根据分步计数原理得到结【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有果．【分析】由等差数列的性质求解．【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数问题，【解答】解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，∵先从3个信封中选一个放1，2，有=3种不同的选法；根据分组公式，其他四封信放入两个∴a1+a2+…+a7==7a4=28信封，每个信封两个有=6种放法，故选：C．【点评】本题主要考查等差数列的性质．∴共有3×6×1=18． 故选：B．5．（5分）不等式＞0的解集为（ ）【点评】本题考查分步计数原理，考查平均分组问题，是一个易错题，解题的关键是注意到第二步从剩下的4个数中选两个放到一个信封中，这里包含两个步骤，先平均分组，再排列．A．{x|x＜﹣2，或x＞3}B．{x|x＜﹣2，或1＜x＜3} C．{x|﹣2＜x＜1，或x＞3}D．{x|﹣2＜x＜1，或1＜x＜3}．（分）为了得到函数（）的图象，只需把函数（+）的图象（ ）75y=sin2x﹣y=sin2x【考点】73：一元二次不等式及其应用．菁优网版权所有A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位【专题】11：计算题．C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【分析】解，可转化成f（x）•g（x）＞0，再利用根轴法进行求解．【解答】解：⇔⇔（x﹣3）（x+2）（x﹣1）＞0【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有利用数轴穿根法解得﹣2＜x＜1或x＞3，【专题】1：常规题型．故选：C．【分析】先将2提出来，再由左加右减的原则进行平移即可．【点评】本试题主要考查分式不等式与高次不等式的解法，属于不等式的基础题．【解答】解：y=sin（2x+）=sin2（x+），y=sin（2x﹣）=sin2（x﹣）， 所以将y=sin（2x+）的图象向右平移个长度单位得到y=sin（2x﹣）的图象，6．（5分）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2故选：B．张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ）【点评】本试题主要考查三角函数图象的平移．平移都是对单个的x来说的．A．12种B．18种C．36种D．54种第4页（共12页） ，．（分）△中，点在边上，平分∠，若，，||，||，则85ABCDABCDACB===1=2=设y=12a4﹣a6，则y′=48a3﹣3a5，当y取最值时，y′=48a3﹣3a5=0，解得a=0或a=4时，当a=4时，（ ）体积最大，A．+B．+C．+D．+此时h==2，【考点】9B：向量加减混合运算．菁优网版权所有故选：C．【分析】由△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，根据三角形内角平分线定理，我们易得【点评】本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法．是中档题．到，我们将后，将各向量用，表示，即可得到答案． 【解答】解：∵CD为角平分线，10．（5分）若曲线y=在点（a，）处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则∴，a=（ ）A．64B．32C．16D．8∵，∴，【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有∴【专题】31：数形结合．故选：B．【分析】欲求参数a值，必须求出在点（a，）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故【点评】本题考查了平面向量的基础知识，解答的核心是三角形内角平分线定理，即若AD为三先利用导数求出在x=a处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率得到切线的角形ABC的内角A的角平分线，则AB：AC=BD：CD方程，最后求出与坐标轴的交点坐标结合三角形的面积公式．从而问题解决． 【解答】解：y′=﹣，∴k=﹣，9．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）A．1B．C．2D．3切线方程是y﹣=﹣（x﹣a），【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有令x=0，y=，令y=0，x=3a，【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的∴三角形的面积是s=•3a•=18，值．解得a=64．【解答】解：设底面边长为a，则高h==，所以体积V=a2h=故选：A．第5页（共12页）【点评】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考 生的计算能力．12．（5分）已知椭圆T：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0） 11．（5分）与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（ ）的直线与T相交于A，B两点，若=3，则k=（ ）A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无数个A．1B．C．D．2【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．菁优网版权所有【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有【专题】16：压轴题．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由于点D、B1显然满足要求，猜想B1D上任一点都满足要求，然后想办法证明结论．【分析】设