长345푀1푀2푀1푟3푎+3푎+푎年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷）力定律，r满足方程：＋＝(R＋r).设α＝.由于α的值很小，因此在近似计算中2019(푅+푟)2푟2푅3푅(1+푎)2理科数学≈3α3，则r的近似值为( )一、选择题푀2푀23푀2푀2A.RB.RC.3RD.3R푀12푀1푀13푀11．设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B等于( )答案 DA．(－∞，1)B．(－2,1)M1rC．(－3，－1)D．(3，＋∞)解析 由＋＝(R＋r)，得＋＝M.因为α＝，所以＋＝(1＋α)M，得r1푅11＋2R答案 A()＝.由≈3α3，得3α3≈，即33≈，所以r≈·R，故选D.解析 因为A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x>3或x<2}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，所以A∩B＝{x|x<1}，故选A.2．设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于( )5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( )A．第一象限B．第二象限A．中位数B．平均数C．第三象限D．第四象限C．方差D．极差答案 C答案 A解析 由题意，得＝－3－2i，其在复平面内对应的点为(－3，－2)，位于第三象限，故选C.解析 记9个原始评分分别为a，b，c，d，e，f，g，h，i(按从小到大的顺序排列)，易知e为7个有效评分与3．已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·等于( )9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选A.A．－3B．－2C．2D．36．若a>b，则( )答案 CA．ln(a－b)>0B．3a<3b解析 因为＝－＝(1，t－3)，所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝(1,0)，所以·＝C．a3－b3>0D．|a|>|b|2×1＋3×0＝2，故选C.答案 C4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成解析 由函数y＝lnx的图象(图略)知，当0b时，3a>3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a>b时，a3>b3，即a3－嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长b3>0，故C正确；当b0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p等于( )3푝푝푥2푦2．．．．11．设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于A2B3C4D8푎2푏2P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )答案 D23．5푝pA.B.C2D.解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为,0，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故选(2)2答案 AD.解析 如图，9．下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是( )A．f(x)＝|cos2x|B．f(x)＝|sin2x|C．f(x)＝cos|x|D．f(x)＝sin|x|答案 A由题意知，以OF为直径的圆的方程为2＋y2＝①，将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝，则以OF解析 A中，函数f(x)＝|cos2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝，所以|PQ|＝2.函数f(x)＝|sin2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝，故选A.长12．设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，解析 经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为＝0.98.8都有f(x)≥－，则m的取值范围是( )914．已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax.若f(ln2)＝8，则a＝________.A.B.答案 －3解析 当x>0时，－x<0，f(－x)＝－e－ax.因为函数f(x)为奇函数，所以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，所以f(lnC.D.2)＝e－aln2＝a＝8，所以a＝－3.答案 B1115．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________．解析 当－1数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．二、填空题13．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________． 答案 0.98答案 26 2－1长解析 依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后个面都在正方体的表面上，且该半正多面体6C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，E(1,0,1)，＝(1,0,0)，＝(1，－1,1)，＝(0,0,2)．的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视设平面EBC的法向量为n＝(x，y，z)，则即图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则x＋x＋x＝1，解得x＝－1，故题中的半正多面体的棱长为－1.所以可取n＝(0，－1，－1)．三、解答题设平面ECC1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则17.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.即所以可取m＝(1,1,0)．1于是cos〈n，m〉＝＝－，2sin〈n，m〉＝＝，(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，求二面角B－EC－C1的正弦值．所以二面角B－EC－C1的正弦值为.(1)证明 由已知得，B1C1⊥平面ABB1A1，因为BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.18．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获又BE⊥EC1，EC1∩B1C1＝C1所以BE⊥平面EB1C1.胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率(2)解 为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．(1)求P(X＝2)；(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．解 (1)X＝2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.(2)X＝4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．由(1)知∠BEB1＝90°.因此所求概率为P＝[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝45°，故AE＝AB，AA1＝2AB.19．已知数列{a}和{b}满足a＝1，b＝0,4a＋＝3a－b＋4,4b＋＝3b－a－4.以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则nn11n1nnn1nn长(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；综上，f(x)有且仅有两个零点．(2)求{an}和{bn}的通项公式．x(2)证明 因为＝e－lnx0，故点B在曲线y＝e上．(1)证明 由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，1由题设知f(x0)＝0，即lnx0＝，连接AB，则直线AB的斜率即a＋b＝(a＋b)．n＋1n＋12nn1又因为a＋b＝1，所以{a＋b}是首项为1，公比为的等比数列．k＝＝＝.11nn2由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.x曲线y＝e在点B处切线的斜率是，曲线y＝lnx在点A(x0，lnx0)处切线的斜率也是，所以曲线y又因为a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列．x＝lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线y＝e的切线．(2)解 由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1.121．已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x，