2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅱ）（原卷版）

（ ）2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|（x﹣1）2＜4，x∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，则M∩N=（ ）A．B．A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，2，3}D．{0，1，2，3}2．（5分）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（ ）A．﹣1+iB．﹣1﹣iC．1+iD．1﹣iC．D．3．（5分）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（ ）8．（5分）设a=log36，b=log510，c=log714，则（ ）A．B．C．D．A．c＞b＞aB．b＞c＞aC．a＞c＞bD．a＞b＞c4．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄．（分）已知＞，实数，满足：，若+的最小值为，则（ ）β，则（ ）95a0xyz=2xy1a=A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βA．2B．1C．D．C．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l10．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（ ）5．（5分）已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a=（ ）A．∃x0∈R，f（x0）=0A．﹣4B．﹣3B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形C．﹣2D．﹣1C．若x是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x）单调递减6．（5分）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出00D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0的S=（ ）11．（5分）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的A．圆过点（0，2），则C的方程为（ ）B．A．y2=4x或y2=8xB．y2=2x或y2=8xC．C．y2=4x或y2=16xD．y2=2x或y2=16x12．（5分）已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为D．面积相等的两部分，则b的取值范围是（ ）7．（5分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是A．（0，1）B．C．D．（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体 三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为第1页（共4页）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．19．（12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每亏损元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方13．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则•= ．1t300图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以x（单位：t，100≤x≤14．（5分）从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产率为，则n= ．品的利润．15．（5分）设θ为第二象限角，若tan（θ+）=，则sinθ+cosθ= ．16．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10=0，S15=25，则nSn的最小值为 ． 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤：17．（12分）△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．（Ⅰ）将T表示为x的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x∈[100，110））则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110）的频率，求T的数学期望．．（分）如图，直棱柱中，，分别是，的中点，．1812ABC﹣A1B1C1DEABBB1AA1=AC=CB=AB（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．第2页（共4页）选考题：（第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答．请考生在第22、23、24题中任选20．（12分）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分评分，作答时请写清题号）=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．22．（10分）【选修4﹣1几何证明选讲】如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上（Ⅰ）求M的方程的点，且BC•AE=DC•AF，B、E、F、C四点共圆．（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．（1）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（2）若DB=BE=EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．21．（12分）已知函数f（x）=ex﹣ln（x+m）（Ι）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；23．已知动点P、Q都在曲线（β为参数）上，对应参数分别为β=α与β=2α（0＜α（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0．＜2π），M为PQ的中点． （1）求M的轨迹的参数方程；（2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．第3页（共4页）24．【选修4﹣﹣5；不等式选讲】设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：（Ⅰ）（Ⅱ）． 第4页（共4页）