绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整,笔迹清楚3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。3i1.()1iA.12iB.12iC.2iD.2i22.设集合A1,2,4,xx4xm0.若A1,则()A.1,3B.1,0C.1,3D.1,53.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,学科&网粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为()A.90B.63C.42D.3612x3y305.设x,y满足约束条件2x3y30,则z2xy的最小值是()y30A.15B.9C.1D.96.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()A.12种B.18种C.24种D.36种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,学科&网给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩8.执行右面的程序框图,如果输入的a1,则输出的S()A.2B.3C.4D.5开始输入aS=0,K=1否K6是S=S+aKa=-aK=K+1输出S开始22xy29.若双曲线C:1(a0,b0)的一条渐近线被圆x2y24所截得的弦长为2,则a2b2C的离心率为()23A.2B.3C.2D.310.已知直三棱柱ACA11C1中,AC120,A2,CCC11,则异面直线A1与C1所成角的余弦值为()315103A.B.C.D.255311.若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1`的极值点,则f(x)的极小值为()A.1B.2e3C.5e3D.1212.已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA(PBPC)的最小值是()34A.2B.C.D.123二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,表示抽到的二等品件数,则D.314.函数fxsin2x3cosx(x0,)的最大值是.42n1等差数列的前项和为,,,则.15.annSna33S410k1Sk16.已知F是抛物线C:y28x的焦点,是C上一点,F的延长线交y轴于点.若为F的中点,则F.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(12分)BABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(AC)8sin2.2(1)求cosB(2)若ac6,ABC面积为2,求b.18.(12分)淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学|科网,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg)某频率直方图如下:频率/组距频率/组距0.0680.0400.0460.0340.0440.0320.0240.0200.0140.0120.0200.0100.0080253035404550556065700.004箱产量/kg03540455055606570旧养殖法箱产量/kg(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件:旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱3产量不低于50kg,估计A的概率;(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:箱产量<50kg箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)P(퐾2≥푘)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828n(adbc)2K2(ab)(cd)(ac)(bd)19.(12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD,1ABBCAD,BADABC90o,E是PD的中点.2(1)证明:直线CE//平面PAB(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成锐角为45o,求二面角M-AB-D的余弦值PMEADBC20.(12分)x2设O为坐标原点,动点M在椭圆C:y21上,过M做x轴的垂线,垂足为N,点P满足2NP2NM.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且OPPQ1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.21.(12分)已知函数f(x)ax3axxlnx,且f(x)0.(1)求a;423(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且ef(x0)2.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,按所做的第一题计分。22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM||OP|16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为(2,),点B在曲线C上,求OAB面积的最大值.3223.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知a0,b0,a3b32,证明:(1)(ab)(a3b3)4;(2)ab2.5绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题答案一、选择题1.D2.C3.B4.B5.A6.D7.D8.B9.A10.C11.A12.B二、填空题2n13.1.9614.115.16.6n1三、解答题17.解:(1)由题设及ABC得sinB8sin2,故2sinB(41-cosB)上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=015解得cosB=1(舍去),cosB=1715814(2)由cosB=得sinB,故SacsinBac1717ABC21717又S=2,则acABC2由余弦定理学科&网及ac6得b2a2c22accosB(a+c)22ac(1cosB)1715362(1)2174所以b=218.解:(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”,C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”由题意知PAPBCPBPC旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为6(0.0400.0340.0240.0140.012)5=0.62故PB的估计值为0.62新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为(0.0680.0460.0100.008)5=0.66故PC的估计值为0.66因此,事件A的概率估计值为0.620.660.4092(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量50kg箱产量≥50kg旧养殖法6238新养殖法3466200626634382K215.70510010096104由于15.7056.635故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于50kg的直方图面积为0.0040.0200.04450.340.5,箱产量低于55kg的直方图面积为0.0040.0200.044+0.06850.680.5故新养殖法箱产量的中位数的估计值为0.5-0.3450+≈52.3(5kg).0.06819.解:(1)取PA中点F,连结EF,BF.11因为E为PD的中点,所以EFAD,EF=AD,由BADABC90得BC∥AD,又BCAD22所以EF∥BC.四边形BCEF为平行四边形,CE∥BF.又BF平面PAB,CE平面PAB,故CE∥平面PAB(2)7由已知得BAAD,以A为坐标原点,AB的方向为x轴正方向,AB为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,3),PC(1,0,3),AB(1,0,0)则BM(x1,y,z),PM(x,y1,z3)因为BM与底面ABCD所成的角为45°,而n(0,0,1)是底面ABCD的法向量,所以0z2cosBM,nsin45,(x1)2y2z22即(x-1)²+y²-z²=0又M在棱PC上,学|科网设PMPC,则x,y1,z3322x=1+x=1-22y=1(舍去),y=1由①,②得66zz222626所以M1-,1,,从而AM1-,1,2222设是平面的法向量,则m=x0,y0,z0ABMmAM02-2x2y6z0即000mAB0x008mn10所以可取m=(0,-6,2).于是cosm,nmn510因此二面角M-AB-D的余弦值为520.解()设()()设()1Px,y,Mx0,y0,Nx0,0,NPxx0,y,NM0,y02由NP2NM得x=x,yy002x2y2因为M(x0,y0)在C上,所以122因此点P的轨迹方程为x2y22(2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则OQ3,t,PF1m,n,OQPF33mtn,OPm,n,PQ3m,tn,2222由OPPQ1得-3mmtnn1,又由(1)知m+n=2,故3+3m-tn=0所以OQPF0,即OQPF.学.科网又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.21.解:(1)fx的定义域为0,+设gx=ax-a-lnx,则fx=xgx,fx0等价于gx01因为g1=0,gx0,故g'1=0,而g'xa,g'1=a1,得a1x1若a=1,则g'x=1.当0<x<1时,g'x<0,gx单调递减;当x>1时,g'x>0,gx单调递x增.所以x=1是gx的极小值点,故gxg1=0综上,a=1(2)由(1)知fxx2xxlnx,f'(x)2x
2017年海南省高考数学试题及答案(理科)
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