2014年海南省高考数学试题及答案（理科）

2014年普通高等学校招生全国统一考试理科（新课标卷二Ⅱ）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=｛0,1,2｝，N=x|x23x2≤0，则MN=()A.｛1｝B.｛2｝C.｛0，1｝D.｛1，2｝2.设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，zxxkz12i，则z1z2（）A.-5B.5C.-4+iD.-4-i3.设向量a,b满足|a+b|=10，|a-b|=6，则ab=()A.1B.2C.3D.54.钝角三角形ABC的面积是1，AB=1，BC=2，则AC=()2A.5B.5C.2D.15.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A.0.8B.0.75C.0.6D.0.456.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A.17B.5C.10D.12792737.执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S=（）A.4B.5C.6D.78.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=A.0B.1C.2D.3xy7≤09.设x,y满足约束条件x3y1≤0，则z2xy的最大值为3xy5≥0（）A.10B.8C.3D.210.设F为抛物线C:y23x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A.33B.93C.63D.94832411.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（）A.1B.2C.30D.2105102212.设函数fx3sinx.若存在fx的极值点x满足x2fxm2，则m的取m000值范围是（）A.,66,B.,44,C.,22,D.,14,第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.本试题由http://gaokao.ccutu.com整理二.填空题1013.xa的展开式中，x7的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)14.函数fxsinx22sincosx的最大值为_________.15.已知偶函数fx在0,单调递减，f20.若fx10，则x的取值范围是__________.2216.设点M（x0,1），若在圆O:xy1上存在点N，使得zxxk∠OMN=45°，则x0的取值范围是________.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知数列an满足a1=1，an13an1.（Ⅰ）证明a1是等比数列，并求a的通项公式；n2n（Ⅱ）证明：11…+13.a1a2an218.（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=3，求三棱锥E-ACD的体积.19.（本小题满分12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入2.93.33.64.44.85.25.9y（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：nttyyiii1，ˆbnaˆybt2titi120.（本小题满分12分）2y2设F,F分别是椭圆C:x1ab0的左,右焦点，M是C上一点且MF与x轴垂12a2b22直，直线MF1与C的另一个交点为N.（Ⅰ）若直线MN的斜率为3，求C的离心率；4（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且MN5F1N，求a,b.21.（本小题满分12分）已知函数fx=exex2xzxxk（Ⅰ）讨论fx的单调性；（Ⅱ）设gxf2x4bfx，当x0时，gx0,求b的最大值；（Ⅲ）已知1.414221.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，有途高考网同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）ADDE=2PB223.（本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos，0,.zxxk2（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l:y3x2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标.24.（本小题满分10）选修4-5：不等式选讲设函数fx=x1xa(a0)a（Ⅰ）证明：fx≥2；（Ⅱ）若f35，求a的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题（1）D（2）A（3）A（4）B（5）A（6）C（7）D（8）D（9）B（10）D（11）C（12）C二、填空题1（13）（14）1（15）（-1,3）（16）[-1，1]2三、解答题（17）解：11（1）由a3a1得a3(a).m1mm12m21313又a，所以，{a}是首项为，公比为3的等比数列。122m2213m3m1a=，因此{a}的通项公式为a=m22nm212（2）由（1）知=mam3111因为当n1时，3m123m1,所以，3m123m111111313于是，1=(1)m1ma1a2am332321113所以，a1a2am2（18）解：（1）连结BD交AC于点O,连结EO因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点又E为的PD的中点，所以EOPBEO平面AEC,PB平面AEC，所以PB平面AEC（2）因为PA平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB,AD,AP两两垂直如图，以A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，AP为单位长，建立空间直角坐3131标系，则A—xyz,则D(0,3,0),则E(0,,),AE=(0,,)2222设B(m,0,0)(m＞0)，则C（m,3，0）设n(x,y,z)为平面ACE的法向量，mx3y0nAC0则{1即{31nAE0yz01223可取n=（,-1,3）1m又n1=（1,0,0）为平面DAE的法向量，1由题设cos(n,n)=，即122313=，解得m=34m2221因为E为PD的中点，所以三棱锥E-ACD的高为，三棱锥E-ACD的体积为211313V=3=3222819解：（1）由所得数据计算得1t=（1+2+3+4+5+6+7）=4，71y=(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3772=9+4+1+0+1+4+9=28(t1t)i17(t1t)(y1y)i1=(-3)（-1.4）+（-2）（-1）+（-1）（-0.7）+00.1+10.5+20.9+31.6=14，7(tt)(yy)1114b=i1==0.57228(t1t)i1a=y-bt=4.3-0.54=2.3所求回归方程为y=0.5t+2.3(Ⅱ)由（Ⅰ）知，b=0.5>0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元.将2015年的年份代号t=9代入（1）中的回归方程，得y=0.5×9+2.3=6.8故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元（20）解：b2（Ⅰ）根据c=a2‒b2以及题设知M（c，），2b2=3acac1c将b2=a2-c2代入2b2=3ac，解得=，=-2（舍去）a2a1故C的离心率为2（Ⅱ）由题意，原点O的F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D是线段Mb2F的中点，故=4，即1ab2=4a①由|MN|=5|F1N|得|DF1|=|F1N|3c2（‒c‒x）=cx=‒设N（x，y），由题意可知y<0,则{‒2y=2即2{y=‒19c21代入方程C，得+=1②4a2b29（a2‒4a）1将①以及c=a2‒b2代入②得到+=14a24a解得a=7，b2=4a=28，故a=7，b2=27（21）解（Ⅰ）f‘（x）=ex+e‒x-2≥0，等号仅当x=0时成立，所以f（x）在（—∞，+∞）单调递增（Ⅱ）g（x）=f(2x)-4bf(x)=e2x-e‒2x-4b(ex-e‒x)+(8b-4)xg'(x)=2[e2x+e‒2x‒2b(ex+e‒x)+(4b‒2)]=2(ex+e‒x‒2)(ex+e‒x‒2b+2)（1）当b2时，g’(x)0,等号仅当x=0时成立，所以g(x)在(-,+)单调递增，而g(0)=0，所以对任意x>0,g(x)>0;（2）当b>2时，若x满足，20,ln2>>0.692821232当b=+1时，ln(b-1+b22b)=ln243g(ln2)=-22+(32+2)ln2<02182in2<<0.69328(22)解：（1）连结∆AB,∆AC由题设知∆PA=∆PD,故∆PAD=∆PDA因为∆PDA=∆DAC+∆DCA∆PAD=∆BAD+∆PAB∆DCA=∆PAB所以∆DAC=∆BAD,从而。。。。。。。因此BE=EC（2）由切割线定理得PA2=PB*PC∆因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB由相交弦定理得AD*DE=BD*DC所以，AD*DE=2PB2在此处键入公式。(23)解：（1）C的普通方程为(x‒1)2+y2=1(0≤y≤1)x=1+cost可得C的参数方程{y=sint（t为参数，0≤t≤π）（Ⅱ）设D（1+cost,sint).由（Ⅰ）知C是以G（1,0）为圆心，1为半径的上半圆。因为C在点D处的切线与I垂直，所以直线GD与I的斜率相同。tant=3，t=π/3.故D的直角坐标为（1+cosπ/3，sinπ/3）,即（3/2,3/2）.(24)解：（Ⅰ）由a>0,有f（x）=｜x+1/a｜+｜x-a｜≥｜x+1/a-(x-a)｜=1/a+a≥2.所以f（x）≥2.（Ⅱ）f（x）=｜3+1/a｜+｜3-a｜.21当a＞3时，f（3）=a+1/a，由f（3）＜5得3＜a＜5+25当0