绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.作答时,将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。12i1.12i43433434A.iB.iC.iD.i555555552.已知集合Ax,yx2y2≤3,xZ,yZ,则A中元素的个数为A.9B.8C.5D.4exex3.函数fx的图像大致为x24.已知向量a,b满足|a|1,ab1,则a(2ab)A.4B.3C.2D.0x2y25.双曲线1(a0,b0)的离心率为3,则其渐近线方程为a2b223A.y2xB.y3xC.yxD.yx22C56.在△ABC中,cos,BC1,AC5,则AB25A.42B.30C.29D.25111117.为计算S1…,设计了右侧的程序框开始23499100N0,T0图,则在空白框中应填入A.ii1i1是否B.ii2i100C.ii31NNSNTD.ii4i1TT输出Si1结束8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30723.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是1111A.B.C.D.121415189.在长方体ABCDA1B1C1D1中,ABBC1,AA13,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为1552A.B.C.D.565210.若f(x)cosxsinx在[a,a]是减函数,则a的最大值是ππ3πA.B.C.D.π42411.已知f(x)是定义域为(,)的奇函数,满足f(1x)f(1x).若f(1)2,则f(1)f(2)f(3)…f(50)A.50B.0C.2D.50x2y212.已知F,F是椭圆C:1(ab0)的左,右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率12a2b23为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,F1F2P120,则C的离心率为62111A.B.C.D.3234二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.曲线y2ln(x1)在点(0,0)处的切线方程为__________.x2y50,14.若x,y满足约束条件x2y30,则zxy的最大值为__________.x50,15.已知sinαcosβ1,cosαsinβ0,则sin(αβ)__________.716.已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45°,若△SAB的8面积为515,则该圆锥的侧面积为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(12分)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a17,S315.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.18.(12分)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:yˆ30.413.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:yˆ9917.5t.(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.学科*网19.(12分)设抛物线C:y24x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.20.(12分)如图,在三棱锥PABC中,ABBC22,PAPBPCAC4,O为AC的中点.(1)证明:PO平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且二面角MPAC为30,求PC与平面PAM所成角的正弦值.POACMB21.(12分)已知函数f(x)exax2.(1)若a1,证明:当x0时,f(x)1;(2)若f(x)在(0,)只有一个零点,求a.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)x2cosθ,在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为y4sinθx1tcosα,(t为参数).y2tsinα(1)求C和l的直角坐标方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)设函数f(x)5|xa||x2|.(1)当a1时,求不等式f(x)0的解集;(2)若f(x)1,求a的取值范围.参考答案:一、选择题1.D2.A3.B4.B5.A6.A7.B8.C9.C10.A11.C12.D二、填空题113.y2x14.915.16.402π2三、解答题17.(12分)解:(1)设{an}的公差为d,由题意得3a13d15.由a17得d=2.所以{an}的通项公式为an2n9.22(2)由(1)得Snn8n(n4)16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为−16.18.(12分)解:(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为yˆ30.413.519226.1(亿元).利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为yˆ9917.59256.5(亿元).(2)利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下:(ⅰ)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y30.413.5t上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型yˆ9917.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.学.科网(ⅱ)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.19.(12分)解:(1)由题意得F(1,0),l的方程为yk(x1)(k0).设A(x1,y1),B(x2,y2),yk(x1),由得22222kx(2k4)xk0.y4x2k2416k2160,故xx.12k24k24所以|AB||AF||BF|(x1)(x1).12k24k24由题设知8,解得k1(舍去),k1.k2因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y2(x3),即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则y0x05,x03,x011,(yx1)2解得或200y2y6.(x01)16.002因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.20.(12分)解:(1)因为APCPAC4,O为AC的中点,所以OPAC,且OP23.2连结OB.因为ABBCAC,所以△ABC为等腰直角三角形,21且OBAC,OBAC2.2由OP2OB2PB2知POOB.由OPOB,OPAC知PO平面ABC.uuur(2)如图,以O为坐标原点,OB的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系Oxyz.uuur由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),C(0,2,0),P(0,0,23),AP(0,2,23),取平面PAC的法uuur向量OB(2,0,0).uuur设M(a,2a,0)(0a2),则AM(a,4a,0).设平面PAM的法向量为n(x,y,z).uuuruuur2y23z0由APn0,AMn0得,可取n(3(a4),3a,a),ax(4a)y0uuur23(a4)uuur3所以cosOB,n.由已知得|cosOB,n|.23(a4)23a2a2223|a4|34所以=.解得a4(舍去),a.23(a4)23a2a22383434uuuruuur3所以n(,,).又PC(0,2,23),所以cosPC,n.33343所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.421.(12分)【解析】(1)当a1时,f(x)1等价于(x21)ex10.设函数g(x)(x21)ex1,则g'(x)(x22x1)ex(x1)2ex.当x1时,g'(x)0,所以g(x)在(0,)单调递减.而g(0)0,故当x0时,g(x)0,即f(x)1.(2)设函数h(x)1ax2ex.f(x)在(0,)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,)只有一个零点.(i)当a0时,h(x)0,h(x)没有零点;(ii)当a0时,h'(x)ax(x2)ex.当x(0,2)时,h'(x)0;当x(2,)时,h'(x)0.所以h(x)在(0,2)单调递减,在(2,)单调递增.4a故h(2)1是h(x)在[0,)的最小值.学&科网e2e2①若h(2)0,即a,h(x)在(0,)没有零点;4e2②若h(2)0,即a,h(x)在(0,)只有一个零点;4e2③若h(2)0,即a,由于h(0)1,所以h(x)在(0,2)有一个零点,416a316a316a31由(1)知,当x0时,exx2,所以h(4a)11110.e4a(e2a)2(2a)4a故h(x)在(2,4a)有一个零点,因此h(x)在(0,)有两个零点.e2综上,f(x)在(0,)只有一个零点时,a.422.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)x2y2【解析】(1)曲线C的直角坐标方程为1.416当cos0时,l的直角坐标方程为ytanx2tan,当cos0时,l的直角坐标方程为x1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(13cos2)t24(2cossin)t80.①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以①有两个解,设为t1,t2,则t1t20.4(2cossin)又由①得tt,故2cossin0,于是直线l的斜率ktan2.1213cos223.[选修4-5:不等式选讲](10分)2x4,x1,【解析】(1)当a1时,f(x)2,1x2,2x6,x2.可得f(x)0的解集为{x|2x3}.(2)f(x)1等价于|
2018年海南省高考数学试题及答案(理科)
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