2015年海南省高考数学试题及答案（理科）

2015年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）理科数学注意事项1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=｛-2，-1,0,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（A）｛－1，0｝（B）｛0，1｝（C）｛-1，0，1｝（D）｛0，1，2｝2.若a为实数且（2+ai）（a-2i）=－4i，则a=（A）-1（B）0（C）1（D）23.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是1（A）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著（B）2007年我国治理二氧化硫排放显现（C）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势（D）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4.等比数列｛푎푛｝满足푎1=3，푎1+푎3+푎5=21，则푎3+푎5+푎7=（A）21（B）42（C）63（D）841log2(2x),x＜1,5.设函数f(x)=，则f(－)+f(log12)=x1222,x1（A）3（B）6（C）9（D）126.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为1111（A）（B）（C）（D）87657.过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于y轴于M、N两点，则MN=（A）26（B）8（C）46（D）108.右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入푎,푏分别为14,18，则输出的푎=（A）0（B）2（C）4（D）149.已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体2积的最大值为36，则球O的表面积为（A）36π（B）64π（C）144π（D）256π10.如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，∠BOP=푥。将动点P到AB两点距离之和表示为푥的函数푓（푥），则푓（푥）的图像大致为11.已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(A)5(B)2(C)3(D)212.设函数f’(푥)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，푓（‒1）=0，当푥>0时，xf’(푥)－f(x)＜0，则使得푓(푥)>0成立的푥的取值范围是(A)(－∞，－1)∪(0，1)(B)(－1，0)∪(1，＋∞)(C)(－∞，－1)∪(－1，0)(D)(0，1)∪(1，＋∞)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13.设向量푎，푏不平行，向量휆a＋b与a＋2b平行，则实数휆=________.(用数字填写答案)3xy10,14.若푥，푦满足约束条件x2y0,，则z=x＋y的最大值为____________..x2y20,15.(a＋푥)(1＋푥)4的展开式中푥的奇数次幂项的系数之和为32，则a=__________.16.设Sn是数列{푎푛}的前푛项和，且푎1=－1，푎푛+1=푆푛푆푛+1，则푆푛=________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD是∆ADC面积的2倍。sinB(Ⅰ)求；sinC2(Ⅱ)若AD=1，DC=，求BD和AC的长.218.（本小题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：6273819295857464537678869566977888827689B地区：7383625191465373648293486581745654766579（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；4（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率19.（本小题满分12分）如图，长方体퐴퐵퐶퐷‒퐴1퐵1퐶1퐷1中퐴퐵=16，퐵퐶=10，퐴퐴1=8，点퐸，퐹分别在퐴1퐵1，퐷1퐶1上，퐴1퐸=퐷1퐹。过带你퐸，퐹的平面훼与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求直线퐴퐹与平面훼所成角的正弦值20.（本小题满分12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.5（I）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；m（II）若l过点(，m),延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否平行四边3行？若能，求此时푙的斜率，若不能，说明理由.21.（本小题满分12分）设函数푓(푥)=푒푚푥+푥2‒푚푥.(Ⅰ)证明：푓(푥)在（－∞，0）单调递减，在（0，＋∞）单调递增；（Ⅱ）若对于任意푥1,푥2∈[-1,1],都有｜푓(푥1)‒푓(푥2)｜≤푒‒1,求푚的取值范围请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆O与ABC的底边BC交于M、N两点与底边上的高AD交于点G，且与AB、AC分别相切于E、F两点.（I）证明：EF平行于BC（II）若AG等于圆O的半径，且AE=MN=,求四边形EBCF的面积。23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程xtcos,在直角坐标系xOy中，曲线C1:(t为参数，t0)，其中0≤α＜π，在ytsin,以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：휌=2sinθ，曲线C3：휌=23cos휃.（I）.求C2与C3交点的直角坐标（II）.若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求AB的最大值6（24）（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲设푎、푏、푐、푑均为正数，且푎+푏=푐+푑,证明：（I）若ab＞cd，则ab＞cd；（II）ab＞cd是ab＜cd的充要条件.（24）（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲设均为正数，且,证明：7（I）若，则ab＞cd；（II）ab＞cd是ab＜cd的充要条件.82015年海南省数学理科高考试题及答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（）（A）｛--1,0｝（B）｛0,1｝（C）｛-1,0,1｝（D）｛,0,，1，2｝【答案】A【解析】由已知得Bx2x1，故AB1,0，故选A（2）若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i,则a=（）（A）-1（B）0（C）1（D）2【答案】B【解析】[来源:Z_xx_k.Com]（3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是()9（A）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著（B）2007年我国治理二氧化硫排放显现（C）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势（D）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【答案】D【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关．（4）等比数列｛an｝满足a1=3，a1a3a5=21，则a3a5a7()（A）21（B）42（C）63（D）84【答案】B【解析】1log2(2x),x1,（）设函数f(x),5x1f(2)f(log212)()2,x1,（A）3（B）6（C）9（D）12【答案】C10【解析】由已知得f(2)1log243，又log2121，所以log2121log26f(log212)226，故f(2)f(log212)9．（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为1111（A）（B）（C）（D）8765【答案】D【解析】由三视图得，在正方体ABCDA1B1C1D1中，截去四面体AA1B1D1，如图所111示，，设正方体棱长为a，则Va3a3，故剩余几何体体积为AA1B1D1326151a3a3a3，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为．665D1C1A1B1DCAB（7）过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于y轴于M、N两点，则MN=11（A）26（B）8（C）46（D）10【答案】C【解析】（8）右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18，则输出的a=A.0B.2C.4D.14【答案】B[来源:Z.xx.k.Com]【解析】程序在执行过程中，a，b的值依次为a14，b18；b4；a10；a6；a2；b2，此时ab2程序结束，输出a的值为2，故选B．（9）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为A．36πB.64πC.144πD.256π【答案】C【解析】如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最111大，设球O的半径为R，此时VVR2RR336，故R6，则OABCCAOB326球O的表面积为S4R2144，故选C．12COAB10.如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为[来源:学科网]【答案】B【解析】13的运动过程可以看出，轨迹关于直线x对称，且f()f()，且轨迹非线型，故242选B．（11）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（A）√5（B）2（C）√3（D）√2【答案】D【解析】（12）设函数f’(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f（-1）=0，当x0时，xf'(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】f(x)xf'(x)f(x)记函数g(x)，则g'(x)，因为当x0时，xf'(x)f(x)0，xx214故当x0时，g'(x)0，所以g(x)在(0,)单调递减；又因为函数f(x)(xR)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(,0)单调递减，且g(1)g(1)0．当0x1时，g(x)0，则f(x)0；当x1时，g(x)0，则f(x)0，综上所述，使得f(x)0成立的x的取值范围是(,1)(0