2016年广东高考（理科）数学试题及答案

绝密★启封并使用完毕前试题类型：A2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A{x|x24x30}B{x|2x30}（1）设集合，，则AB3333(3,)(3,)(1,)(,3)（A）2（B）2（C）2（D）2（2）设(1i)x1yi，其中x，y是实数，则xyi=（A）1（B）2（C）3（D）2{a}a=8a=（3）已知等差数列n前9项的和为27，10，则100（A）100（B）99（C）98（D）97（4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是1123（A）（B）（C）（D）3234x2y2(5)已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则m2n3m2nm的取值范围是（A）（1，3）（B）（1，3）（C）（0，3）（D）（0，3）(6)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半28径．若该几何体的体积是，则它的表面积是3（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π（7）函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为（A）（B）（C）（D）（8）若ab1，0c1，则cccc（A）ab（B）abba（C）alogbcblogac（D）logaclogbc（9）执行右面的程序图，如果输入的x0，y1，n1，则输出x，y的值满足（A）y2x（B）y3x（C）y4x（D）y5x(10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的标准线于D、E两点.已知|AB|=42，|DE|=25，则C的焦点到准线的距离为(A)2(B)4(C)6(D)8(11)平面a过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，a//平面CB1D1，a平面ABCD=m，a平面ABA1B1=n，则m、n所成角的正弦值为3231(A)(B)(C)(D)223312.已知函数f(x)sin(x+)(0，),x为f(x)的零点，x为2445yf(x)图像的对称轴，且f(x)在，单调，则的最大值为1836（A）11（B）9（C）7（D）5第II卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=.(14)(2xx)5的展开式中，x3的系数是.（用数字填写答案）（15）设等比数列{푎푛}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为。（16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元。三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本题满分为12分）ABC的内角A，B，C的对边分别别为a，b，c，已知2cosC(acosB+bcosA)c.（I）求C；33（II）若c7,ABC的面积为，求ABC的周长．2（18）（本题满分为12分）如图，在已A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，AFD90，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60．（I）证明平面ABEFEFDC；（II）求二面角E-BC-A的余弦值．（19）（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（I）求X的分布列；（II）若要求P(Xn)0.5，确定n的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？20.（本小题满分12分）设圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.（21）（本小题满分12分）已知函数푓(푥)=(푥‒2)e푥+푎(푥‒1)2有两个零点.(I)求a的取值范围；(II)设x1，x2是푓(푥)的两个零点，证明：x1+x2<2.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲1如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°.以⊙O为圆心，2OA为半径作圆.(I)证明：直线AB与O相切；(II)点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB∥CD.（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程푥=푎cos푡，在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为{푦=1+푎sin푡，（t为参数，a＞0）。在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ.（I）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（II）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a。（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)=∣x+1∣-∣2x-3∣.（I）在答题卡第（24）题图中画出y=f(x)的图像；（II）求不等式∣f(x)∣﹥1的解集。2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）D（2）B（3）C（4）B（5）A（6）A（7）D（8）C（9）C（10）B（11）A（12）B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分(13)2(14)10（15）64（16）216000三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分为12分）解：（I）由已知及正弦定理得，2cosCsinAcossincosAsinC，即2cosCsinAsinC．故2sinCcosCsinC．1可得cosC，所以C．23133（II）由已知，absinC．22又C，所以ab6．3由已知及余弦定理得，a2b22abcosC7．2故a2b213，从而ab25．所以AC的周长为57．（18）（本小题满分为12分）解：（I）由已知可得AFDF，AFF，所以AF平面FDC．又AF平面AF，故平面AF平面FDC．（II）过D作DGF，垂足为G，由（I）知DG平面AF．以G为坐标原点，GF的方向为x轴正方向，GF为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz．由（I）知DF为二面角DAF的平面角，故DF60，则DF2，DG3，可得A1,4,0，3,4,0，3,0,0，D0,0,3．由已知，A//F，所以A//平面FDC．又平面ACD平面FDCDC，故A//CD，CD//F．由//AF，可得平面FDC，所以CF为二面角CF的平面角，CF60．从而可得C2,0,3．所以C1,0,3，0,4,0，AC3,4,3，A4,0,0．设nx,y,z是平面C的法向量，则nC0x3z0，即，n04y0所以可取n3,0,3．mAC0设m是平面ACD的法向量，则，mA0nm219同理可取m0,3,4．则cosn,m．nm19219故二面角CA的余弦值为．19（19）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而P(X16)0.20.20.04；P(X17)20.20.40.16；P(X18)20.20.20.40.40.24；P(X19)20.20.220.40.20.24；P(X20)20.20.40.20.20.2；P(X21)20.20.20.08；P(X22)0.20.20.04.所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04（Ⅱ）由（Ⅰ）知P(X18)0.44，P(X19)0.68，故n的最小值为19.（Ⅲ）记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.当n19时，EY192000.68(19200500)0.2(192002500)0.08(192003500)0.044040.当n20时，EY202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044080.可知当n19时所需费用的期望值小于n20时所需费用的期望值，故应选n19.20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为|AD||AC|，EB//AC，故EBDACDADC，所以|EB||ED|，故|EA||EB||EA||ED||AD|.又圆A的标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4，所以|EA||EB|4.由题设得A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：x2y21（y0）.43（Ⅱ）当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，M(x1,y1)，N(x2,y2).yk(x1)2222由x2y2得(4k3)x8kx4k120.1438k24k212则xx，xx.124k23124k2312(k21)所以|MN|1k2|xx|.124k2312过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y(x1)，A到m的距离为，所以kk2124k2322故四边形的面积|PQ|24()42.MPNQk21k111S|MN||PQ|121.24k23可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,83).当l与x轴垂直时，其方程为x1，|MN|3，|PQ|8，四边形MPNQ的面积为12.综上，