2009年广东高考（理科）数学试题及答案

绝密★启用前试卷类型：B2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。1参考公式：锥体的体积公式Vsh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高3一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．巳知全集UR，集合M{x2x12}和N{xx2k1,k1,2,}的关系的韦恩（Ｖenn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A．３个Ｂ．２个Ｃ．１个Ｄ．无穷个２．设z是复数，a(z)表示满足zn1的最小正整数n，则对虚数单位i，a(i)Ａ．８Ｂ．６Ｃ．４Ｄ．２３．若函数yf(x)是函数yax(a0,且a1)的反函数，其图像经过点(a,a)，则f(x)1Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2log2xlog1xxx223。４．巳知等比数列满足，且2n，则当时，{an}an0,n1,2,a5a2n52(n3)n1log2a1log2a3log2a2n1Ａ．n(2n1)Ｂ．(n1)2Ｃ．n2Ｄ．(n1)245．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是Ａ．①和②Ｂ．②和③Ｃ．.③和④Ｄ．②和④06．一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F1,F2成60角，且F1,F21的大小分别为２和４，则F3的大小为Ａ．６Ｂ．２Ｃ．25Ｄ．27A7．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小F1罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不D同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四CF3O项工作，则不同F2的选派方案共有BＡ．36种Ｂ．12种Ｃ．18种Ｄ．48种8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行对于图中给定驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙（如图2所示）．那么的t0和t1，下列判断中一定正确的是A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．t1时刻后，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（９～１２题）９．随机抽取某产品件，测得其长度分别为，则图所示的程序框图输出的，表示的样na1,a2,,an3s本的数字特征是．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）１０．若平面向量a,b满足ab1，ab平行于x轴，b(2,1)，则a．11．巳知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为3，且2G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为_________________．12．已知离散型随机变量X的分布列如右表．若EX0，DX1，则a，b．（二）选做题（13~15题，考生只能从中选做两题）13．（坐标系与参数方程选做题）若直线x12t,xs,数）垂直，则l1:．(t为参数)与直线l2:（s为参ky2kt.y12s.x114．（不等式选讲选做题）不等式1的实数解为．x215．(几何证明选讲选做题）如图4，点A,B,C是圆O上的点，且AB4,ACB450，则圆O的面积等于．2三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，16．(本小题满分12分）已知向量a(sin,2)与b(1,cos)互相垂直，其中(0,)．2（1）求sin和cos的值；10（2）若sin(),0，求cos的值．10217．（本小题满分12分）根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得API数据按照区间[0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]进行分组，得到频率分布直方图如图5（1）求直方图中x的值；（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.(结果用分数表示．已知5778125,27128,32738123,18253651825182591259125365735）18．（本小题满分１４分）点Ｅ是如图６，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为２，正方形BCC1B1的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱C1D1,AA1的中点．设点E1,G1分别是点Ｅ、Ｇ在平面DCC1D1内的正投影．（１）求以Ｅ为顶点，以四边形FGAE在平面DCC1D1内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（２）证明：直线FG1平面FEE1；（３）求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值19．（本小题满分１４分）2已知曲线C:yx与直线l:xy20交于两点A(xA,yA)和B(xB,yB)，且xAxB．记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D3．设点P(s,t)是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合．（１）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；51（２）若曲线G:x22axy24ya20与D有公共点，试求a的最小值．2520．（本小题满分１４分）已知二次函数yg(x)的导函数的图像与直线y2x平行，且yg(x)在x1处取得极小值g(x)m1(m0)．设f(x)．x（１）若曲线yf(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2，求m的值；（２）k(kR)如何取值时，函数yf(x)kx存在零点，并求出零点．21．（本小题满分１４分）已知曲线22．从点向曲线引斜率为的切线，切点Cn:x2nxy0(n1,2,)P(1,0)Cnkn(kn0)ln为Pn(xn,yn)．（１）求数列{xn}与{yn}的通项公式；1xx（２）证明：nnx1x3x5x2n12sin1xnyn答案41.解：M{x|1x3}，N{1,3,5,}，所以MN{1,3}故，选B2.解：因为i21，i3i，i41，所以满足in1的最小正整数n的值是4。故，选Cx.解：由函数y＝f(x)是函数ya(a0,且a1)的反函数，可知f(x)logax，1又其图像经过点(a,a)，即logaaa，所以a=,f(x)log1x。故答B222n210526。解：在a5a2n52(n3)中，令n=5,得a52(2)，令n=3,得a5a12，又，所以5，，从而解得，公比，n，an0,n1,2,a52a12q2an22n1a2n12，log2a2n12n1，n(12n1)所以logalogaloga1+3+…+（2n-1）=n2212322n125.解：显然①和③是假命题，故否定A,B,C,答D.6.解：依题意，可知F1F2F30，所以F3(F1F2)，22221FFF(FF)2FF2FFcos60o=2242224=28.3121212122所以，力F3的大小为F32827，答D。227。解：若小张和小赵两人都被选中，则不同的选派方案有A2A312种，113若小张和小赵两人只有一人都被选中，则不同的选派方案有C2C2A324种，故，总的不同的选派方案共有12+24=36种。答A。t8.解：因为速度函数v(t)是路程函数s(t)的导函数，即s(t)v(t)，所以s(t)v(t)dt，0根据定积分的定义，比较图中速度曲线v甲和v乙分别与x轴及直线tt0，tt1围成的图形的面积，即可看出，应选A。9.解：记ik时求得的S值为Sk,记初始值为S00,0Saa1Saaa则S011,S1212,1112222SaaaaS23123,……,333(n1)SaaaaSn1n12nnnnaaa故,答案为(1)12n；(2)这n件产品的平均长度。n10。解：设a(x,y)，则ab(x2,y1)，依题意，得(x2)2(y1)21x1x3，解得或，所以a(1,1)或a(3,1)。y10y1y1答：(1,1)或(3,1)。x2y211.解：设椭圆G的方程为1(ab0)，焦半径为c,a2b2c3依题意，得2a=12，且，解得a=6，c=33,所以b2a2c236279a2x2y2所以，椭圆G的方程为1。36912。解：依题意，得515abc1a121211a0c20，解得b124211a0c21c12451答：；124x12t,k13．解：直线l1:(t为参数)化为普通方程是y2(x1)，y2kt.2k该直线的斜率为，2xs,直线l2:（s为参数）化为普通方程是y2x1，y12s.该直线的斜率为2，k则由两直线垂直的充要条件，得21，k1。2x1x1x2(x1)2(x2)22x3014。解：1x2x20x2x233解得x且x2。所以原不等式的解集为{x|x且x2}2215．解法一：连结OA，OB，则∠AOB=2∠ACB=90O，所以△AOB为等腰直角三角形，又AB4，所以，圆O的半径R=22，圆O的面积等于R2(22)28解法二：设圆O的半径为R，在△ABC中，由正弦定理，4得2R，解得R=22，sin45o所以，圆O的面积等于R2(22)2816．解：（1）∵向量a＝sin’－2与b＝1，cos互相垂直，∴absin2cos0，即sin2cos①，又sin2cos21②1①代入②，整理，得cos2，5由0,，可知cos0，2525∴cos，代入①得sin55525故cos，sin。55（2）∵5cos()35cos，∴5(coscossinsin)35cos525将（）的结果代入其中，得15cossin35cos556整理，得sincos③，又sin2cos21④1③代入④，整理，得cos22由0，可知cos0，22所以，解得cos。217.解：（1）因为，在频率分布直方图中，各个小矩形的面积之和等于1，32738依题意，得x501182