2011年广东高考（理科）数学试题及答案

试卷类型：A2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求做大的答案无效。4、作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5、考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：柱体的体积公式V=Sh其中S为柱体的底面积，h为柱体的高线性回归方程ybxa中系数计算公式其中x,y表示样本均值。N是正整数，则anbnab(an1an2b…abn2bn1）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。2011年全国高考【广东卷】（理科数学）试题第1页（共26页）1.设复数z满足1iz2，其中i为虚数单位，则z=A．1iB.1iC.22iＤ．22i2．已知集合Ax,y∣x,y为实数，且x2y21，Bx,yx,y为实数，且yx，则AB的元素个数为Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．33.若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则c(a2b)Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．04.设函数fx和gx分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是Ａ．fxgx是偶函数 Ｂ．fxgx是奇函数Ｃ．fxgx是偶函数 Ｄ．fxgx是奇函数0x25.在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组y2给定。若M(x,y)为x2yD上的动点，点A的坐标为(2,1)，则zOMON的最大值为A．42 B．32 C．4 D．36.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为1323A． B． C． D．25347.如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为2011年全国高考【广东卷】（理科数学）试题第2页（共26页）A.63B.93C.123D.1838.设S是整数集Z的非空子集，如果a,bS,有abS，则称S关于数的乘法是封闭的.若T,V是Z的两个不相交的非空子集，TUZ,且a,b,cT,有abcT;x,y,zV,有xyzV，则下列结论恒成立的是A.T,V中至少有一个关于乘法是封闭的B.T,V中至多有一个关于乘法是封闭的C.T,V中有且只有一个关于乘法是封闭的D.T,V中每一个关于乘法都是封闭的16.填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。(一）必做题（9-13题）9.不等式x1x30的解集是.72410.xx的展开式中，x的系数是（用数字作答）xa11,aka4011.等差数列an前9项的和等于前4项的和.若，则k=____________.212.函数f(x)x3x1在x=____________处取得极小值。13.某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm.（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）已知两面线参数方程分别为2011年全国高考【广东卷】（理科数学）试题第3页（共26页）52x5cosxt(0)和4(tR)，它们的交点坐标为___________.ysinyt15.（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O外一点p分别作圆的切线和割线交圆于A,B，且PB=7，C是圆上一点使得BC=5，∠BAC=∠APB,则AB=。三．解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。（1）（本小题满分12分）1已知函数f(x)2sin(x),xR.365(1)求f()的值；4106(2)设,0,,f(3a),f(32),求cos()的值.2213517.为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素x,y满足x≥175，且y≥75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；2011年全国高考【广东卷】（理科数学）试题第4页（共26页）（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列极其均值（即数学期望）。18.(本小题满分13分)如图5.在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且∠DAB=60，PAPD2,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点.(1)证明：AD平面DEF;(2)求二面角P-AD-B的余弦值.19.(本小题满分14分)设圆C与两圆(x5)2y24,(x5)2y24中的一个内切，另一个外切。（1）求圆C的圆心轨迹L的方程;3545（2）已知点M(,),F(5,0)，且P为L上动点，求MPFP的最大值及55此时点P的坐标.20.（本小题共14分）nban1设b>0,数列an满足a1=b，an(n2)an12n2.（1）求数列an的通项公式；bn1（2）证明：对于一切正整数n，a1.n2n121.（本小题满分14分）2011年全国高考【广东卷】（理科数学）试题第5页（共26页）1在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L:yx2实数p，q满足4.22p4q0，x1，x2是方程xpxq0的两根，记(p,q)maxx1,x2。1（1）过点A(p,p2)(p0)作L的切线教y轴于点B.证明：对线段AB上0400p任一点Q(p，q)有(p,q)0;2（2）设M(a，b)是定点，其中a，b满足a2-4b>0,a≠0.过M(a，b)作L的两11条切线l,l，切点分别为E(p,p2),E(p,p2)，l,l与y轴分别交与F,F'。线1214124212p1段EF上异于两端点的点集记为X.证明：M(a,b)XP1P2(a,b)2;15（3）设D={(x,y)|y≤x-1,y≥(x+1)2-}.当点(p,q)取遍D时，求(p,q)的最44小值（记为min）和最大值（记为max）.2011年广东高考理科数学参考答案一、选择题题号12345678答案BCDACDBA二、填空题９. [1,)；10. 84；11. 10；12. 2；13. 185；2514. (1,)；15. 35；5三、解答题5516．解：(1)f()2sin()2sin2;4126410512(2)f(3)2sin，sin，又[0,]，cos，213132132011年全国高考【广东卷】（理科数学）试题第6页（共26页）63f(32)2sin()2cos，cos，2554又[0,]，sin，2516cos()coscossinsin.651417．解：（1）乙厂生产的产品总数为535；9822（2）样品中优等品的频率为，乙厂生产的优等品的数量为3514；55CiC2i（），23，的分布列为30,1,2P(i)2(i0,1,2)C5012P33110510314均值E()12.5105P18.解：(1)取AD的中点G，又PA=PD，PGADF，由题意知ΔABC是等边三角形，BGAD，又PG,BG是平面PGB的两条相交直线，DCGE，ＳＳAD平平PGBABEF//PB,DE//GB，ＳＳ平平DEF//平平PGB，AD平平DEF(2)由（1）知PGB为二面角PADB的平面角，21713在RtPGA中，PG22()2；在RtBGA中，BG212()2；2424PG2BG2PB221在PGB中，cosPGB.2PGBG719．解：（1）两圆半径都为2，设圆C的半径为R，两圆心为F1(5,0)、F2(5,0)，由题意得R|CF1|2|CF2|2或R|CF2|2|CF1|2，||CF1||CF2||425|F1F2|，2011年全国高考【广东卷】（理科数学）试题第7页（共26页）x2y2可知圆心C的轨迹是以F,F为焦点的双曲线，设方程为1，则12a2b2x22a4,a2,c5,b2c2a21,b1，所以轨迹L的方程为y21．4（２）∵||MP||FP|||MF|2，仅当PMPF(0)时，取＂＝＂，x2由k2知直线l:y2(x5)，联立y21并整理得MFMF465145652515x2325x90解得x或x(舍去），此时P(,-)515553545所以||MP||FP||最大值等于2，此时P(,)．55abana2(n1)12n120．解（１）法一：nn1，得n1，nan12(n1)anban1bban1n21设bn，则bnbn1(n2)，anbb11（ⅰ）当b2时，b是以为首项，为公差的等差数列，n22111即b(n1)n，∴a2n222n222（ⅱ）当b2时，设b(b)，则bb(1)，nbn1nbn1b211121令(1)，得，b(b)(n2)，bb2bn2bbn12b11121知b是等比数列，b(b)()n1，又b，n2bn2b12bb1b12112nbnnbn(2b)b()n，a．n2bb2b2bbnn2nbn11法二：（ⅰ）当b2时，b是以为首项，为公差的等差数列，n22111即b(n1)n，∴a2n222n2b22b2(b2)3b33b3(b2)（ⅱ）当b2时，ab，a，a，12b2b2222b22b4b3232011年全国高考【广东卷】（理科数学）试题第8页（共26页）nbn(b2)猜想a，下面用数学归纳法证明：nbn2n①当n1时，猜想显然成立；kbk(b2)②假设当nk时，a，则kbk2k(k1)ba(k1)bkbk(b2)(k1)bk1(b2)k，ak1kkkk1k1ak2(n1)kb(b2)2k(b2)b2所以当nk1时，猜想成立，nbn(b2)由①②知，nN*，a．nbn2n2n1（２）（ⅰ）当b2时，a21，故b2时，命题成立；n2n1（ⅱ）当b2时，