2019年广东高考（文科）数学试题及答案

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。3i1．设z，则z=12iA．2B．3C．2D．1，，2．已知集合U1,2,3,4,5,6,7A2,3,4,5B2,3,6,7，则BðUAA．1,6B．1,7C．6,7D．1,6,70.20.33．已知alog20.2,b2,c0.2，则A．abcB．acbC．cabD．bca514．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是251（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人2-1-51体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金2分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是A．165cmB．175cmC．185cmD．190cmsinxx5．函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为cosxx2A．B．C．D．6．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生7．tan255°=A．－2－3B．－2+3C．2－3D．2+38．已知非零向量a，b满足a=2b，且（a–b）b，则a与b的夹角为-2-ππ2π5πA．B．C．D．6336119．如图是求2的程序框图，图中空白框中应填入1221111A．A=B．A=2C．A=D．A=12AA12A2Ax2y210．双曲线C：1(a0,b0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为a2b211A．2sin40°B．2cos40°C．D．sin50cos50111．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－4b，则=cA．6B．5C．4D．312．已知椭圆C的焦点为F1(1,0),F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|2|F2B|，|AB||BF1|，则C的方程为x2x2y2x2y2x2y2A．y21B．1C．1D．12324354-3-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线y3(x2x)ex在点(0,0)处的切线方程为___________．314．记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1，S，则S4=___________．1343π15．函数f(x)sin(2x)3cosx的最小值为___________．216．已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为3，那么P到平面ABC的距离为___________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60分。17．（12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？n(adbc)2附：K2．(ab)(cd)(ac)(bd)P0.0500.0100.001（K2≥k）-4-k3.8416.63510.82818．（12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．（1）若a3=4，求{an}的通项公式；（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．20．（12分）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．-5-21.（12分）已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）1t2x，1t2在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为4ty1t2极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin110．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：111（1）a2b2c2；abc（2）(ab)3(bc)3(ca)324．-6-2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学·参考答案一、选择题1．C2．C3．B4．B5．D6．C7．D8．B9．A10．D11．A12．B二、填空题513．y=3x14．15．−416．28三、解答题-7-17．解：40（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为0.8，因此男顾客对该商50场服务满意的概率的估计值为0.8．30女顾客中对该商场服务满意的比率为0.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的50估计值为0.6．100(40203010)2（2）K24.762．50507030由于4.7623.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.18．解：（1）设an的公差为d．由S9a5得a14d0．由a3=4得a12d4．于是a18,d2．因此an的通项公式为an102n．n(n9)d（2）由（1）得a4d，故a(n5)d,S.1nn22由a10知d0，故Sn…an等价于n11n10„0，解得1≤n≤10．所以n的取值范围是{n|1„n„10,nN}．19．解：（1）连结B1C,ME.因为M，E分别为BB1,BC的中点，所以ME∥B1C，且-8-11MEBC.又因为N为AD的中点，所以NDAD.21121∥∥∥由题设知A1B1=DC，可得B1C=A1D，故ME=ND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED.又MN平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.（2）过C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DEBC，DEC1C，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH.从而CH⊥平面C1DE，故CH的长即为C到平面C1DE的距离，417由已知可得CE=1，C1C=4，所以CE17，故CH.117417从而点C到平面CDE的距离为.11720．解：（1）设g(x)f(x)，则g(x)cosxxsinx1,g(x)xcosx.-9-πππ当x(0,)时，g(x)0；当x,π时，g(x)0，所以g(x)在(0,)单调递222π增，在,π单调递减.2π又g(0)0,g0,g(π)2，故g(x)在(0,π)存在唯一零点.2所以f(x)在(0,π)存在唯一零点.（2）由题设知f(π)…aπ,f(π)0，可得a≤0.由（1）知，f(x)在(0,π)只有一个零点，设为x0，且当x0,x0时，f(x)0；当xx0,π时，f(x)0，所以f(x)在0,x0单调递增，在x0,π单调递减.又f(0)0,f(π)0，所以，当x[0,π]时，f(x)…0.又当a„0,x[0,π]时，ax≤0，故f(x)…ax.因此，a的取值范围是(,0].21．解：（1）因为M过点A,B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0上，且A,B关于坐标原点O对称，所以M在直线yx上，故可设M(a,a).因为M与直线x+2=0相切，所以M的半径为r|a2|.由已知得|AO|=2，又MOAO，故可得2a24(a2)2，解得a=0或a=4.故M的半径r=2或r=6.（2）存在定点P(1,0)，使得|MA||MP|为定值.理由如下：-10-设M(x,y)，由已知得M的半径为r=|x+2|,|AO|=2.由于MOAO，故可得x2y24(x2)2，化简得M的轨迹方程为y24x.因为曲线C:y24x是以点P(1,0)为焦点，以直线x1为准线的抛物线，所以|MP|=x+1.因为|MA||MP|=r|MP|=x+2(x+1)=1，所以存在满足条件的定点P.221t2y1t24t2．解：（）因为，且2，所以的直角221121x221C1t21t1t2y2坐标方程为x21(x1).4l的直角坐标方程为2x3y110.xcos,（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，ππ）.y2sinπ4cos11|2cos23sin11|3C上的点到l的距离为.772ππ当时，4cos11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.3323．解：（1）因为a2b22ab,b2c22bc,c2a22ac，又abc1，故有abbcca111a2b2c2abbcca.abcabc111所以a2b2c2.abc（2）因为a,b,c为正数且abc1，故有-11-(ab)3(bc)3(ca)333(ab)3(bc)3(ac)3=3(a+b)(b+c)(a+c)3(2ab)(2bc)(2ac)=24.所以(ab)3(bc)3(ca)324.-12-选择填空解析3i1.设z，则z（）12iA.2B.3C.2D.1答案：C解析：3i(3i)(12i)17i因为z12i(12i)(12i)517所以z()2()2255，，，，，，2.已知集合U{1,2,3,4,5,6,7}，A{2345}，B{2367}，则BCUA（）A.{1,6}B.{1,7}-13-C.{6,7}D.{1,6,7}答案：C解析：，，，，，，，，U{1,2,3,4,5,6,7}，A{2345}，则CUA{167}，又B{2367}，则，BCUA{67}，故选C.0.20.33.已知alog20.2，b2，c0.2，则（）A.abcB.acbC.cabD.bca答案：B解答：0.2由对数函数的图像可知：alog20.20；再有指数函数的图像可知：b21，0c0.20.31，于是可得到：acb.514.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（2510.618称为黄金