2015年广东高考（理科）数学试题及答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.1．若集合M={x|(x+4)(x+1)=0}，N={x|(x-4)(x-1)=0}，则MN=A．B．1,4C．0D．1,42．若复数z=i(3–2i)(i是虚数单位)，则z=A．3-2iB．3+2iC．2+3iD．2-3i3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是11A．yxexB．yxC．y2xD．x2xy1x24．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为11105A．1B.C.D.2121215．平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线的方程是A．2xy50或2xy50B.2xy50或2xy50C.2xy50或2xy50D.2xy50或2xy504x5y86．若变量x，y满足约束条件1x3则z3x2y的最小值为0y23123A．B.6C.D.455x2y257．已知双曲线C：1的离心率e=，且其右焦点F2(5,0)，则双曲线C的方a2b24程为（）x2y2x2y2x2y2x2y2A．1B.1C.1D.1431699163418．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值A．大于5B.等于5C.至多等于4D.至多等于3二、填空题:本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9-13题）9．在(x1)4的展开式中，x的系数为。10．在等差数列{an}中，若a3a4a5a6a725，则a2a8=。1π11．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若a=3，sinB=，C=，则b26=。12.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言。（用数字作答）13．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言。（用数字做答）（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）π14．(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的极坐标方程为2sin(）2，点A的47π极坐标为A(22,)，则点A到直线l的距离为。415.（几何证明选讲选作题）如图1，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1，过圆心O做BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD=。CBDOPE三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文A字说明、证明过程和演算步骤．图116．（本小题满分12分）222在平面直角坐标系xOy中，已知向量m=（，），n=（sinx，cosx），x∈（0，22）。2（1）若m⊥n，求tanx的值（2）若m与n的夹角为，求x的值。317．（本小题满分12分）某工厂36名工人的年龄数据如下表。工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄140103619272834244113120432939340123821413043441133922373138533144323343242640154524423353745163925373437842173826443549943183627423639（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的平均值x和方差s2；（3）36名工人中年龄在xs与xs之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01％）？18．（本小题满分14分）如图2，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3.点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF=2FB，CG=2GB.（1）证明：PEFG；（）求二面角的正切值；2P-AD-CH（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值.DEC3GAFB图219．（本小题满分14分）设a>1，函数f(x)(1x2)exa。(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)在（，+∞）上仅有一个零点；(3)若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行，且在点M(m,n)处的切线与直线OP平2行（O是坐标原点）,证明：m3a1e20．（本小题满分14分）22已知过原点的动直线l与圆C1:x+y-6x+5=0相交于不同的两点A，B.（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点：若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.21．（本小题满分14分）n2数列a满足a2ana4,nN*.n12n2n1(1)求a3的值；4(2)求数列an前n项和Tn；T111(3)令ba，bn1(1）a（n2），证明：数列{b}的前n项和11nn23nnnSn满足Sn22lnn2015广东高考数学（理）试题（参考答案）1、A2、D3、A4、C5、D6、C7、B8、C159、6 10、10 11、1 12、1560 13、 2 15、83216、567891011以下为选择填空解析！一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。1.若集合Mx|(x4)(x1)0,Nx|(x4)(x1)0，则MNA.1,4B.1,4C.0D.【答案】D【解析】Mx(x4)(x1)04,1，Nx(x4)(x1)01,412MN2.若复数zi(32i)（i是虚数单位），则zA.23iB.23iC.32iD.32i【答案】A【解析】zi(32i)3i2，z23i3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是11A.y1x2B.yxC.y2xD.yxexx2x【答案】D【解析】A和C选项为偶函数，B选项为奇函数，D选项为非奇非偶函数4.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰好有1个白球，1个红球的概率为51011A.B.C.D.1212121【答案】BC1C110【解析】105P2C15215.平行于直线2x+y+1=0且与圆x2y25相切的直线的方程是A.2xy50或2xy50B.2xy50或2xy50C.2xy50或2xy50D.2xy50或2xy50【答案】A【解析】设所求直线为2xyc0，因为圆心坐标为（0，0），则由直线与圆相切可得ccd5，解得c5，所求直线方程为22152xy50或2xy504x5y86.若变量x,y满足约束条件1x3，则z3x2y的最小值为0y2132331A.4B.C.6D.55【答案】B【解析】如图所示，阴影部分为可行域，虚线表示目标8函数z3x2y，则当目标函数过点（1，），523z3x2y取最小值为5x2y257.已知双曲线C:1的离心率e，且其右焦点为F(5,0)，则双曲线C的方程为a2b242x2y2x2y2x2y2x2y2A.1B.1C.1D.14391616934【答案】Cc5【解析】由双曲线右焦点为F(5,0)，则c=5，ea42a4x2y2b2c2a29，所以双曲线方程为11698.若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5【答案】B【解析】当n3时，正三角形的三个顶点符合条件；当n4时，正四面体的四个顶点符合条件故可排除A，C，D四个选项，故答案选B二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.（一）必做题（9-13题）9.在（x-1）4的展开式中，x的系数为.【答案】64r4rrrrr222【解析】C4x11C4x，则当r2时，x的系数为1C4610.在等差数列{an}中，若a3a4a5a6a725，则a2a8.【答案】10【解析】由等差数列性质得，a3a4a5a6a75a525，解得a55，所以a2a82a510111.设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a3，sinB，C，则26b=.【答案】114152【解析】sinB,B或，又C，故B，所以A266663ab由正弦定理得，，所以b1sinAsinB12.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言。（用数字作答）【答案】156013.已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，E(X)30，D(X)20，则p.1【答案】31【解析】EXnp30，DXnp(1p)20，解得p3（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题），14.(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的极坐标方程为2sin()2，点A的极坐47标为A(22,)，则点A到直线l的距离为.452【答案】222【解析】2sin()2(sincos)2sincos1422即直线l的直角坐标方程为yx1，即xy10，点A的直角坐标为（2，-2）22152A到直线的距离为d2215.(几何证明选讲选做题)如图1，已知AB是圆O的直径，AB4,EC是圆O的切线，切点为C，BC1，过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD=.【答案】8【解析】图1如图所示，连结O，C两点，则OCCD,ODACCDOACD90ACDCBA，CBACAB90,CDOCABODOC则，所以,所以OD8ABBC15