2012年广东高考（文科）数学试题及答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）文科数学试题和答案（详细解析版）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。1参考公式：锥体的体积公式VSh，其中S为柱体的底面积，h为3柱体的高.4球的体积VR3，其中R为球的半径。3一组数据的标准差x1,x2,,xn1s[(xx)2(xx)2(xx)2]，n12n其中x表示这组数据的平均数。一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。34i1.设i为虚数单位，则复数iA.4i3iB.4i3iC.43iD.43i2.设集合U={1.2.3.4.5.6}，M={1.3.5}，则ðUM=A.{2.4.6}B.{1.3.5}C.{1.2.4}D.U3.若向量AB(1,2)，BC(3,4)，则ACA.（4.6）B.（-4,-6）C.（-2，-2）D.（2，2）4.下列函数为偶函数的是A.ysinxB.yx3C.yexD.ylnx21xy15.已知变量x，y满足约束条件xy1.则z=x+2y的最小值为x10第1页共12页A．3B.1C.-5D.-66.在ABC中，若A=60°,∠B=45°，BC=32，则AC=3A．43B23C.3D27．某几何的三视图如图1所示，它的体积为A．72πB48πC.30πD.24π8．在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4相交A、B两点，则弦AB的长等于A．33B23C3D19．执行如图2所示的程序图，若输入n的值为6，则输出s的值为A．105B．16C．15D．110．对任意两个非零的平面向量α和β，定义=.若两个非零的平面向量a，b满足a与bn的夹角,，且a.b和b.a都在集合|nZ422中，则a.b=A．5B．3C．1D．1222二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。（一）必做题（11~13题）第2页共12页x111.函数y的定义域为.x1212.若等比数列{an}满足aa,则aaa.24213513.由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为.（从小到大排列）（二）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线nnC1和C2的参数方程分别为|nZ|nZ（为参数，222x1t2(0)（t为参数），则曲线C1和C2的交点坐标22yt2为.15.（几何证明选讲选做题）如图3所示，直线PB与圆O相切于点B,D是玄AC上的点，PBADBA.若AD=m,AC=n,则AB=.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）x已知函数f(x)Acos(),xR，且f()2.463第3页共12页（1）求A的值；43028（2）设0,,f(4),f(4)求cos()的值.231735.17.（本小题满分13分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].（1）求图中的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分.（3）若这100名学生语文成绩某些份数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.18（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD,AB//CD,PDAD,E是PB的中点，F是CD上的点，且1DFAB,PH为PAD中AD边上的高。2（1）证明：PH平面ABCD；（2）若PH1，AD2，FC1，求三棱锥第4页共12页EBCF的体积；（3）证明：EF平面PAB.19.（本小题满分14分）2设数列an前n项和为Sn，数列Sn前n项和为Tn，满足Tn2Snn，nN*.(1)求a1的值；（2）求数列an的通项公式.20.（本小题满分14分）x2y2在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:1（ab0）的左焦1a2b2点为F1(1,0),且点P(0,1)在C1.（1）求椭圆C1的方程；2（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y4x相切，求直线l的方程.21.（本小题满分14分）设0a1，集合A{xR|x0},B{xR|2x23(1a)x6a0},DAB.(1)求集合D(用区间表示)(2)求函数f(x)2x33(1a)x26ax在D内的极值点.第5页共12页2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）答案（详细解析版）34i(34i)i1、【解析】选D依题意：43iii22．【解析】选ACUM{,,}3.【解析】选AACABBC(4,6)4.【解析】选Dysinx与yx3是奇函数,，yex是非奇非偶函数5.【解析】选C约束条件对应ABC边际及内的区域：A(1,0),B(1,2),C1,2)则zx2y[5,3]6.【解析】选BBCAC32AC由正弦定理得：AC23sinAsinBsin60sin45【解析】选C几何体是半球与圆锥叠加而成14312它的体积为V335232302338.【解析】选B圆x2y24的圆心O(0,0)到直线3x4y50的距离5d15弦AB的长AB2r2d2239.【解析】选C第6页共12页s11315i135710、【解析】选Aab21abcos0,bacos0(ab)(ba)cos(0,)ba2nab,ba都在集合nZ}中得：2nn*1(ab)(ba)12(n,nN)ab4122二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。(一）必做题（11-13题）11.【解析】定义域为______[1,0)(0,)x1x10y中的x满足：1x0或x0xx0112.【解析】aa2a_____1354111aaa2,aa2aa4242321353413.【解析】这组数据为_________1,1,3,3不妨设x1x2x3x4得：x2x34,x1x2x3x48x1x4422222s1(x12)(x22)(x32)(x42)4xi20,1,2①如果有一个数为0或4；则其余数为2，不合题意第7页共12页②只能取xi21；得：这组数据为1,1,3,3（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14.【解析】它们的交点坐标为_______(2,1)22C1:xy5(x,y0),C2:yx1解得：交点坐标为(2,1)15.(【解析】AB_______mnPBADBAACB,BADCABBADCABABAD得：AB2ACADmnABmnACAB三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。16.(本小题满分12分)【解析】（1）f()2Acos2A23443015158（2）f(4)cos()sin,cos31721717172843f(4)cos,sin35554831513cos()coscossinsin5175178517.【解析】（1）(2a0.020.030.04)101a0.005（2）平均分为550.05650.4750.3850.2950.0573（3）数学成绩在[50,90)内的人数为145(0.0050.040.030.02)1010090人234数学成绩在[50,90)外的人数为1009010人答：（1）a0.005（2）这100名学生语文成绩的平均分为73（3）数学成绩在[50,90)外的人数为10人。第8页共12页18.【解析】（1）AB平面PAD，PH面PADPHAB又PHAD,ADABAPH面ABCD11（2）E是PB中点点E到面BCF的距离hPH22三棱锥EBCF的体积111112VShFCADh123BCF326212（3）取PA的中点为G，连接DG,EGPDADDGPA，又AB平面PAD面PAD面PABDG面PAB点E,G是棱PB,PA的中点11EG//AB,DF//ABEG//DFDG//EF22得：EF平面PAB19.(本小题满分14分)2*【解析】（1）在Tn2Snn，nN中，令n1a12a11a1122（2）Tn2Snn，Tn12Sn1(n1)，相减得：Sn12Sn(2n1)Sn12Sn(2n1)，Sn22Sn1(2n3)，相减得：an22an12a11S22S13a24，得an12an2an12an2an122(an2)得：数列{an2}是以a123为首项，公比为2的等比数列n1n1an232an32220.(本小题满分14分)【解析】（1）由题意得：b1,ca2b21a2,bc1x2故椭圆C的方程为：y2112（2）①设直线l:xm，直线l与椭圆C1相切m22直线与抛物线C2:y4x相切m0，得：m不存在第9页共12页②设直线l:ykxm222直线l与椭圆C1相切(12k)x4kmx2m20两根相等2210m2k12222直线与抛物线C2:y4x相切kx2(km2)xm0两根相等20km1222解得：k,m2或k,m2l:y(x2)22221.（本小题满分14分）【解析】（1）对于方程2x23(1a)x6a0判别式9(1a)248a3(a3)(3a1)因为a1，所以a301①当1a时，0，此时BR，所以DA；31②当a时，0，此时B{x|x1}，所以D(0,1)(1,)；31当a时，0，设方程2x23(1a)x6a0的两根为x,x且xx，31212则3(1a)3(a3)(3a1)3(1a)3(a3)(3a1)x，x1424B{x|xx1或xx2}13③当0a时，xx(1a)0，xx3a0，所以x0,x031221212此时，D(x,x1)(x2,)第10页共12页3(1a)3(a3)(3a1)3(1a)3(a3)(3a1)(0,)(,)44（2）f(x)6x26(1a)x6a6(x1)(xa)，a1所以函数f(x)在区间[a,1]上为减函数，在区间(,a]和[1,)上为增函数1①x1是极点1Ba13②xa是极点aA,aB0a111得：0a时，函数f(x)极值点为a，a1时，函数f(x)极33值点为1与a第11页共12页第12页共12页