2014年广东高考（理科）数学试题及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M{1,0,1}，N{0,1,2}，则MNA.{1,0,1}B.{1,0,1,2}C.{1,0,2}D.{0,1}2．已知复数Z满足(34i)z25，则Z=A.34iB.34i C.34iD.34iyx3．若变量x,y满足约束条件xy1且z2xy的最大值和最小值分别为m和n，则mny1A.8B.7C.6D.5x2y2x2y24．若实数k满足0k9，则曲线1与曲线1的259k25k9A.离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等5．已知向量a1,0,1，则下列向量中与a成60夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是近视率/%小学生高中生3500名2000名50初中生304500名10O小学初中高中年级A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4，满足l1l2,l2l3,l3l4，则下面结论一定正确的是A.l1l4B.l1//l4C.l1,l4既不垂直也不平行D.l1,l4的位置关系不确定8．设集合A=x1,x2,x3,x4,x5xi{1,0,1},i1,2,3,4,5，那么集合A中满足条件“1x1x2x3x4x53”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式x1x25的解集为。10．曲线ye5x2在点(0,3)处的切线方程为。11．从0,1,2,3,4,5,6,7,8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为。a12．在ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，已知bcosCccosB2b，则b。2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）-------1．若等比数列的各项均为正数，且5，则13ana10a11a9a122elna1lna2lna20。（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）214．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为sincos和sin1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为_________.DC15．（几何证明选讲选做题）如图3,在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB2AE，AC与DE交于点F，则CDF的面积FAEF的面积AEB三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．5316．（本小题满分12分）已知函数f(x)Asin(x),xR，且f()，4122（1）求A的值；33（2）若f()f()，(0,)，求f()。22417．（本小题满分13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25,30]30.12(30,35]50.20(35,40]80.32(40,45]n1f1(45,50]n2f2（1）确定样本频率分布表中n1,n2,f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率。2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）-------218．（本小题满分13分）如图4，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，DPC300，AFPC于点F，FE//CD，交PD于点E.（1）证明：CF平面ADFAB（2）求二面角DAFE的余弦值。DCEFP2*19．（本小题满分14分）设数列an的前n和为Sn,满足Sn2nan13n4n,nN，且S315，(1)求a1,a2,a3的值;(2)求数列an的通项公式。x2y2520．（本小题满分14分）已知椭圆C:1(ab0)的一个焦点为(5,0)，离心率为a2b23，（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P(x0,y0)为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）-------3121．（本小题满分14分）设函数f(x)，其中k2，(x22xk)22(x22xk)3（1）求函数f(x)的定义域D（用区间表示）；（2）讨论函数f(x)在D上的单调性；（3）若k6，求D上满足条件f(x)f(1)的x的集合（用区间表示）。2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）-------42014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合M{1,0,1},N{0,1,2},则MN（B）A．{1,0,1} B.{1,0,1,2} C.{1,0,2} D.{0,1}2.已知复数Z满足(34i)z25,则Z=（A）A．34i B.34i C.34i D.34iyx3.若变量x,y满足约束条件xy1且z2xy的最大值和最小值分别为m和n，则mny1（C）A．8 B.7 C.6 D.5x2y2x2y24.若实数k满足0k9,则曲线1与曲线1的（D）259k25k9A．离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等 D.焦距相等5.已知向量a1,0,1,则下列向量中与a成60夹角的是（B）A．（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（A）A、200,20 B、100,20 C、200,10 D、100,102014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）-------57、若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4满足l1l2,l2,l3,l3l4，则下列结论一定正确的是（D）A．l1l4B．l1//l4C．l1,l4既不垂直也不平行D．l1,l4的位置关系不确定设集合，那么集合中满足条件“8.A=x1,x2,x3,x4,x5xi1,0,1,i1,2,3,4,5A1x1x2x3x4x53”的元素个数为（D）A．60B90C.120D.130８.解：A中元素为有序数组x1,x2,x3,x4,x5，题中要求有序数组的5个数中仅1个数为1、仅2123个数为1或仅3个数为1，所以共有C52C522C5222130个不同数组；二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式x1x25的解集为(,3)(2,)。10．曲线ye5x2在点(0,3)处的切线方程为y5x3。11．从0,1,2,3,4,5,6,7,8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为1。6C3C311.解：6之前6个数中取3个，6之后3个数中取3个，P63136C10a12．在ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，已知bcosCccosB2b，则b2。513．若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e，则。lna1lna2lna2n50（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）214、（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为sincos和sin＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2的交点的直角坐标为(1,1).15、（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与CDF的面积DE交于点F，则＝9.AEF的面积2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）-------6三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．5316、（12分）已知函数f(x)Asin(x),xR，且f()，4122（1）求A的值；33（2）若f()f()，(0,)，求f()。22416.解：（1）f(5)Asin(5)3，1212423A3，A3；f()f()22（2）f()f()3sin()3sin()3，442223[(sincos)(sincos)]3，22266cos3，cos，又(0,)，242210sin1cos，4330f()3sin()3sin．4417、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中n1,n2,f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率。17.解：（1）n17,n22，f10.28,f20.08；（2）样本频率分布直方图为2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）-------7频率组距0.0640.0560.040.0240.0162530354050日加工零件数045（3）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率0.2，设所取的4人中，日加工零件数落在区间（30,35］的人数为，则~B(4,0.2)，P(1)1P(0)1(10.2)410.40960.5904，所以4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率约为0.5904．18、（13分）如图4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30，AF⊥式PC于点F，FE∥CD，交PD于点E。（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D－AF－E的余弦值。18.（１）PD平面ABCD，PDAD，又CDAD，PDCDD，AD平面PCD，ADPC，又AFPC，PC平面ADF，即CF平面ADF；（２）设AB1，则RtPDC中，CD1，又DPC300，zPC2，PD3，由（１）知CFDFAB3227DF，AFADDF，22CFAC2AF21，又FE//CD，23DDECF1，DE，同理EF3CD3，CPDPC4444Ey如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则A(0,0,1)，F33PE(,0,0)，F(,3,0)，P(3,0,0)，