2010年广东高考（理科）数学试题及答案

绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东A卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。xx1.若集合A={-2＜x＜1}，B={0＜x＜2}则集合A∩B=xxA.{-1＜x＜1}B.{-2＜x＜1}xxC.{-2＜x＜2}D.{0＜x＜1}2.若复数z1=1+i，z2=3-i，则z1·z2=A．4B.2+iC.2+2iD.33．若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则A．f（x）与g（x）均为偶函数B.f（x）为偶函数，g（x）为奇函数A．f（x）与g（x）均为奇函数B.f（x）为奇函数，g（x）为偶函数5{an}a2a32a1a4a74.4.已知为等比数列，Sn是它的前n项和。若，且与2的等差中项为4，S则5=A．35B.33C.31D.291m25.“4”是“一元二次方程xxm0”有实数解“的A．充分非必要条件B.充分必要条件C．必要非充分条件D.非充分必要条件36.如图1，△ABC为三角形，AA//BB//CC,CC⊥平面ABC且3AA=2BB=CC=AB,则多面体△ABC-ABC的正视图（也称主视图）是ABCDw_ww.k*s_5u.co_m7已知随机变量X服从正态分布N(3.1)，且p(2≤X≤4)=0.6826，则p（X>4）=第1页共11页A、0.1588B、0.1587C、0.1586D0.15858.为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯商量的颜色各不相同。记这这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5妙。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是A、1205秒B.1200秒C.1195秒D.1190秒二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。（一）必做题（9-13题）w_ww.k*s_5u.co_m9.函数f(x)=lg(x-2)的定义域是.rrrrrr10.若向量a=（1,1,x）,b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条件(ca)(2b)=-2,则x=.11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=3,A+C=2B,则sinC=.12.已知圆心在x轴上，半径为2的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是w_ww.k*s_5u.co_m13.某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中n位居民的月均用水量分别为x1…xn(单位：吨)，根据图2所示的程序框图，若n=2,且x1，x2分别为1,2，则输出地结果s为.w_ww.k*s_5u.co_m14、（几何证明选讲选做题）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交2a3于AB的中点P，PD=，∠OAP=30°，则CP＝______.w_ww.k*s_5u.co_m第2页共11页15、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ<2π）中，曲线ρ=2sin与pcos1的交点的极坐标为______。三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。16、（本小题满分14分）x已知函数f(x)Asin(3x)(A0,x(,),0在12时取得最大值4 (1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的解析式；2123125(3)若f(α+)=,求sinαw_ww.k*s_5u.co_m17.(本小题满分12分)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算495500515出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490,，（495,，……（510,，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示。（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量。第3页共11页（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列。（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率。18.（本小题满分14分）w_ww.k*s_5u.co_m¼»如图5，ABC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点。平面AEC外一点F满足FB=FD=5a，FE=6a图5（1）证明：EB⊥FD；22（2）已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使得BQ=3FE,FR=3FB,求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值。19.（本小题满分12分）某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？w_ww.k*s_5u.co_m20．（本小题满分为14分）x2y21p(x1,y1)Q(x1,y1)一直双曲线2的左、右顶点分别为A1,A2，点，是双曲线上不同的两个动点（1）求直线A与A2Q交点的轨迹E的方程式；第4页共11页l1l2（2）若点H(O,h)（h>1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且,求h的值。21．（本小题满分14分）x,yx,y设A(11),B(22)是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的一种折线距离p(A,B)为w_ww.k*s_5u.co_mxxyyP(A,B)=21+21.x,yx,y对于平面xOy上给定的不同的两点A(11),B(22)(1)若点C（x,y）是平面xOy上的点，试证明P(A,C)+P(C,B)P(A,B);(2)在平面xOy上是否存在点C(x,y),同时满足1.①P(A,C)+P(C,B)=P(A,B)②P(A,C)=P(C,B)若存在，请求所给出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明。第5页共11页2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．D．【解析】AIB{x|2x1}I{x|0x2}{x|0x1}．2．A．【解析】z1z2(1i)(3i)1311(31)i42i3．B．【解析】f(x)3x3xf(x),g(x)3x3xg(x)．4．C．【解析】设{an}的公比为q，则由等比数列的性质知，a2a3a1a42a1，即a42。55151由a与2a的等差中项为知，a2a2，a(2a)．47447472444116(1)a1115∴q37，即q．aaq3a2，a16，S231.a824118151412114m15．A．【解析】由x2xm0知，(x)20m．244111（或由0得14m0，m。）mm，反之不成立，故选A。4446．D．117．B．【解析】P(X4)[1P(2X4)](10.6826)0.1587.228．C．【解析】共有5！=120个不同的闪烁，每个闪烁时间为5秒，共5×120=600秒；每两个闪烁之间的间隔为5秒，共5×（120—1）=595秒。那么需要的时间至少是600＋595=1195秒。二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．9．(2,)．【解析】由x20，得x2，所以函数的定义域为(2,)．vvvvv10．2．【解析】ca(0,0,1x)，(ca)(2b)2(0,0,1x)(1,2,1)2(1x)2，解得x2．1311．1．【解析】由A+C=2B及A+B+C=180°知，B=60°．由正弦定理知，sinAsin60，1即sinA．由ab知，AB60，则A30，C180oAB90o2于是sinCsin901．第6页共11页|a20|12．(x2)2y22．【解析】设圆心为(a,0)(a0)，则r2，解得1212a2．1913．．14．a．【解析】因为点P是AB的中点，由垂径定理知，OPAB.483在RtOPA中，BPAPacos30a.A2OD由相交弦定理知，BPAPCPDP，P3329即aaCPa，所以CPa．C2238B322x1,15．(2,)．【解法1】两条曲线的普通方程分别为xy2y,x1．解得4y1.xcos,3由得点(1,1)的极坐标为(2,)．ysin42sin1【解法2】由得sin2，Q0＜202＜4，cos12333732或22，或（舍），从而2，交点坐标为(2,)22444。三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．33315sin(2)，cos2，12sin2，sin2，sin．25555517．（1）重量超过505克的产品数量是第7页共11页40(0.0550.015)12件；（2）Y的所有可能取值为0，1，2；C263C1C156C21128，1228，12，P(Y0)2P(Y1)2P(Y1)2C40130C40130C40130Y的分布列为Y012635611P130130130（3）从流水线上任取5件产品，恰有2件产品合格的重量超过505克的概率为121128272623CC2111231122821321。54039383736C4037197035432118．（1）证明：连结CF，因为¼AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为»AC的中点，所以EBAC。在RTBCE中，ECBC2BE2a2a22a。在BDF中，BFDF5a，BDF为等腰三角形，且点C是底边BD的中点，故CFBD。在CEF中，CE2CF2(2a)2(2a)26a2EF2，所以CEF为Rt，且CFEC。因为CFBD，CFEC，且CEIBDC，所以CF平面BED，而EB平面BED，CFEB。因为EBAC，EBCF，且ACICFC，所以EB平面BDF，而FD平面BDF，EBFD。（2）设平面BED与平面RQD的交线为DG.22由FQFE，FRFB，知QR//EB.33而EB平面BDE，∴QR//平面BDE，而平面BDEI平面RQD=DG，∴QR//DG//EB.由（1）知，BE平面BDF，∴DG平面BDF，而DR,DB平面BDF，∴DGDR，DGDQ，∴RDB是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角．在RtBCF中，CFBF2BC2(5a)2a22a，第8页共11页FC2a21sinRBD，cosRBD1sin2RBD．BF5a55215a在BDR中，由FRFB知，BRFB，333由余弦定理得，RDBD2BR22BDBRcosRBD5a5a129(2a)2()222aa3353529aaBRRD由正弦定理得，，即33，sinRDBsinRBDsinRDB25229sinRDB。29229故平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值为。2919．解：设为