2008年广东高考（文科）数学试题及答案

2008年广东省高考数学试卷（文科） 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2008•广东）第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}．集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ）A．A⊆BB．B⊆CC．A∩B=CD．B∪C=A 2．（5分）（2008•广东）已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是（ ）A．（1，5）B．（1，3）C．D． 3．（5分）（2008•广东）已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则=（ ）A．（﹣5，﹣10）B．（﹣4，﹣8）C．（﹣3，﹣6）D．（﹣2，﹣4） 4．（5分）（2008•广东）记等差数列的前n项和为Sn，若S2=4，S4=20，则该数列的公差d=（ ）A．2B．3C．6D．7 5．（5分）（2008•广东）已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（ ）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数 6．（5分）（2008•广东）经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是（ ）A．x+y+1=0B．x+y﹣1=0C．x﹣y+1=0D．x﹣y﹣1=0 7．（5分）（2008•广东）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△GHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）1A．B．C．D． 8．（5分）（2008•广东）命题“若函数f（x）=logax（a＞0，a≠1）在其定义域内是减函数，则loga2＜0”的逆否命题是（ ）A．若loga2≥0，则函数f（x）=logax（a＞0，a≠1）在其定义域内不是减函数B．若loga2＜0，则函数f（x）=logax（a＞0，a≠1）在其定义域内不是减函数C．若loga2≥0，则函数f（x）=logax（a＞0，a≠1）在其定义域内是减函数D．若loga2＜0，则函数f（x）=logax（a＞0，a≠1）在其定义域内是减函数 9．（5分）（2008•广东）设a∈R，若函数y=ex+ax，x∈R，有大于零的极值点，则（ ）A．a＜﹣1B．a＞﹣1C．D． 10．（5分）（2008•广东）设a，b∈R，若a﹣|b|＞0，则下列不等式中正确的是（ ）A．b﹣a＞0B．a3+b3＜0C．a2﹣b2＜0D．b+a＞0 二、填空题（共5小题，11--13为必做题，14--15题选做1题，每小题5分，满分20分）11．（5分）（2008•广东）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95）由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75）的人数是 ． 12．（5分）（2008•广东）若变量x，y满足，则z=3x+2y的最大值是 ． 213．（5分）（2008•广东）阅读程序框图，若输入m=4，n=3，则输出a= ，i= ．（注：框图中的赋值符号“=”，也可以写成“←”或“：=”） 14．（5分）（2008•广东）已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcosθ=3，，则曲线C1与C2交点的极坐标为 ． 15．（2008•广东）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2．AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R= ． 三、解答题（共6小题，满分80分）16．（13分）（2008•广东）已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，其图象经过点．（1）求f（x）的解析式；（2）已知，且，，求f（α﹣β）的值． 17．（12分）（2008•广东）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x≥10）层，则每平方3米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=） 18．（14分）（2008•广东）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，∠ABD=60°，∠BDC=45°，△ADP～△BAD．（1）求线段PD的长；（2）若，求三棱锥P﹣ABC的体积． 19．（13分）（2008•广东）某中学共有学生2000人，各年级男，女生人数如下表：一年级二年级三年级女生373xy男生377370z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19．（1）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少名？（2）已知y≥245，z≥245，求高三年级中女生比男生多的概率． 20．（14分）（2008•广东）设b＞0，椭圆方程为，抛物线方程为x2=8（y﹣b）．如图所示，过点F（0，b+2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1．（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．4 21．（14分）（2008•广东）设数列{an}满足a1=1，a2=2，an=（an﹣1+2an﹣2）（n=3，4，…）．数列{bn}满足b1=1，bn（n=2，3，…）是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k，都有﹣1≤bm+bm+1+…+bm+k≤1．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）记cn=nanbn（n=1，2，…），求数列{cn}的前n项和Sn． 1．已知0a2，复数z的实部为a，虚部为1，则z的取值范围是（C）A．(1，5)B．(1，3)C．(1，5)D．(1，3)【解析】za21，而0a2，即1a215，1z512．记等差数列{a}的前n项和为S，若a，S20，则S（D）nn1246A．16B．24C．36D．48【解析】S426d20，d3，故S6315d483．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已一年级二年级三年级知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率女生373xy是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则男生377370z应在三年级抽取的学生人数为（C）A．24B．18C．16D．12表1【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是500，即总体中各个年级的人数比例为3:3:2，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为2641682xy≤40，x2y≤50，4．若变量x，y满足则z3x2y的最大值是（C）x≥0，y≥0，A．90B．80C．70D．40【解析】画出可行域,利用角点法易得答案C.5．将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△GHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（A）5HAGABBCBCBBBI侧视EDEDEEEEFFA．B．C．D图图．12【解析】解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A.6．已知命题p:所有有理数都是实数，命题q:正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（D）A．(p)qB．pqC．(p)(q)D．(p)(q)【解析】不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有(p)(q)为真命题7．设aR，若函数yeax3x，xR有大于零的极值点，则（B）11A．a3B．a3C．aD．a33【解析】f'(x)3aeax，若函数在xR上有大于零的极值点，即f'(x)3aeax013有正根。当有f'(x)3aeax0成立时,显然有a0,此时xln()，由x0我aa们马上就能得到参数a的范围为a3.8．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若ACa，BDb，则AF（B）11211112A．abB．abC．abD．ab42332433【解析】此题属于中档题.解题关键是利用平面几何知识得出DF:FC1:2,然后利用向量的加减法则易得答案B.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9~12题）9．阅读图3的程序框图，若输入m4，n6，则输出a，i（注：框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“:”）开始【解析】要结束程序的运算，就必须通过n整除a的条件运算，而同时m也整除a，那么a的最小值应为m和n的最小公倍输入m，n数12，即此时有i3。10．已知(1kx2)6（k是正整数）的展开式中，x8的系数小于120，i1则k．ami6ii1n整除否a?是输出a，i结束图326r2rrr2r【解析】(1kx)按二项式定理展开的通项为Tr1C6(kx)C6kx，844444我们知道x的系数为C6k15k，即15k120，也即k8，而k是正整数，故k只能取1。11．经过圆x22xy20的圆心C，且与直线xy0垂直的直线方程是．【解析】易知点C为(1,0)，而直线与xy0垂直，我们设待求的直线的方程为yxb，将点C的坐标代入马上就能求出参数b的值为b1，故待求的直线的方程为xy10。12．已知函数f(x)(sinxcosx)sinx，xR，则f(x)的最小正周期是．1cos2x1【解析】f(x)sin2xsinxcosxsin2x,此时可得函数的最小正周期222T。2二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）13．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为cos3，π，，则曲线与交点的极坐标为．4cos≥00≤C1C2223cos3【解析】我们通过联立解方程组(0,0)解得,即两曲线的交4cos26点为(23,)。6114．（不等式选讲选做题）已知aR，若关于x的方程x2xaa0有实根，4则a的取值范围是．11【解析】方程即aax2x[0,],利用绝对值的几何意义(或零点分段法进行441求解)可得实数a的取值范围为0,415．（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA2．AC是圆O7的直径，PC与圆O交于点B，PB1，则圆O的半径R．PAPB【解析】依题意，我们知道PBAPAC,由相似三角形的性质我们有,即2RAB22PAAB221R3。2PB21三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分13分）已知函数f(x)Asin(x)(A0，0π)，xR的最大值是1，其图像经过点π1M，．32π312（1）求f(x)的解析式；（2）已知，0，，且f()，f()，求2513f()的值．1【解析】（1）依题意有A1，则f(x)sin(x)，将点M(,)代入得3215sin()，而0，，，故32362f(x)sin(x)cosx；2312（2）依题意有cos,cos，而,(0,)，5132341