2018年广东高考（理科）数学试题及答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（全国一卷）理科数学（）A.217一、选择题：（本题有12小题，每小题5分，共60分。）B.251、设z=，则∣z∣=（）C.3ퟏA.0B.C.1D.2D.2ퟐ2→→28.设抛物线C：y²=4x的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·2、已知集合A={x|x-x-2>0}，则CRA=（）3FMFNA、{x|-12}D、{x|x≤-1}∪{x|x≥2}A.5B.6C.7D.83、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的9.已知函数f（x）=g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：()A.[-1，0）B.[0，+∞）C.[-1，+∞）D.[1，+∞）10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p，p，p，则()建设前经济收入构成比例123建设后经济收入构成比例A.p1=p2则下面结论中不正确的是（）B.p1=p3A.新农村建设后，种植收入减少C.p2=p3B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上D.p1=p2+p3C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍ퟐ11.已知双曲线C：퐱-y²=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半ퟑ别为M，N.若△OMN为直角三角形，则∣MN∣=()4、记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）3A.B.3C.D.4A、-12B、-10C、10D、1225、设函数f（x）=x³+（a-1）x²+ax.若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的为（）最大值为（）A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=xA.B.C.D.→6、在∆ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=（）311331A.→-→B.→-→C.→+→4AB4AC4AB4AC4AB4AC二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13D.→+→4AB4AC13.若x，y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为.14.记Sn为数列｛an｝的前n项和.若Sn=2an+1，则S6=.19.（12分）15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有퐱ퟐ设椭圆C：+y²=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）.ퟐ种.（用数字填写答案）（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；16.已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是.（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.三.解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5.（1）求cos∠ADB；（2）若DC=，求BC.20、（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件产品作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的概率都为P（02018年普通高等学校招生全国统一考试|HP||DP|343理科数学试题参考答案所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.4一、选择题19．解：1．C2．B3．A4．B5．D6．A（1）由已知得F(1,0)，l的方程为x1.7．B8．D9．C10．A11．B12．A22由已知可得，点A的坐标为(1,)或(1,).22二、填空题2233所以AM的方程为yx2或yx2.13．614．6315．1616．222（2）当l与x轴重合时，OMAOMB0.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMAOMB.三、解答题当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，A(x,y)，B(x,y)，则x2，x2，直线17．解：112212yyBDAB，的斜率之和为kk12（1）在△ABD中，由正弦定理得.MAMBMAMB.sinAsinADBx12x22由，得522y1kx1ky2kx2k由题设知，,所以sinADB.sin45sinADB52kx1x23k(x1x2)4kkMAkMB.223(x12)(x22)由题设知，ADB90，所以cosADB1.255x2将yk(x1)代入y21得22（2）由题设及（1）知，cosBDCsinADB.5(2k21)x24k2x2k220.在△BCD中，由余弦定理得4k22k22所以，xx,xx.122k21122k21BC2BD2DC22BDDCcosBDC4k34k12k38k34k2则2kxx3k(xx)4k0.258252212122k215从而，故，的倾斜角互补所以25.kMAkMB0MAMB.OMAOMB.综上，OMAOMB.所以BC5.20．解：18．解：2218（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)C20p(1p).因此（1）由已知可得，BFPF，BFEF，所以BF平面PEF.218217217f(p)C20[2p(1p)18p(1p)]2C20p(1p)(110p).又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.令f(p)0，得p0.1.当p(0,0.1)时，f(p)0；当p(0.1,1)时，f(p)0.所以f(p)的最大值点为p00.1.（2）作PHEF，垂足为H.由（1）得，PH平面ABFD.uuuruuur以H为坐标原点，HF的方向为y轴正方向，|BF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.（2）由（1）知，p0.1.（ⅰ）令表示余下的件产品中的不合格品件数，依题意知，，即由（1）可得，DEPE.又DP2，DE1，所以PE3.又PF1，EF2，故PEPF.Y180YB(180,0.1)X20225YX4025Y.33可得PH，EH.所以EXE(4025Y)4025EY49022.（ⅱ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.33uuur33uuur3则H(0,0,0)，P(0,0,),D(1,,0)，DP(1,,)，HP(0,0,)为平面ABFD的法向量.由于EX400，故应该对余下的产品作检验.2222221．解：1ax2ax11（1）f(x)的定义域为(0,)，f(x)1.故不等式f(x)1的解集为{x|x}.x2xx22（ⅰ）若a≤2，则f(x)≤0，当且仅当a2，x1时f(x)0，所以f(x)在(0,)单调递减.（2）当x(0,1)时|x1||ax1|x成立等价于当x(0,1)时|ax1|1成立.aa24aa24若a≤0，则当x(0,1)时|ax1|≥1；（ⅱ）若a2，令f(x)0得，x或x.2222若a0，|ax1|1的解集为0x，所以≥1，故0a≤2.aa24aa24aa当x(0,)U(,)时，f(x)0；22综上，a的取值范围为(0,2].aa24aa24aa24aa24当x(,)时，f(x)0.所以f(x)在(0,)，(,)单调递减，在2222aa24aa24(,)单调递增.22（2）由（1）知，f(x)存在两个极值点当且仅当a2.2由于f(x)的两个极值点x1，x2满足xax10，所以x1x21，不妨设x1x2，则x21.由于f(x)f(x)1lnxlnxlnxlnx2lnx121a122a122a2，1x1x2x1x2x1x2x1x2x2x2f(x)f(x)1所以12等价于a2x22lnx20.x1x2x21设函数g(x)x2lnx，由（1）知，g(x)在(0,)单调递减，又g(1)0，从而当x(1,)时，g(x)0.x1f(x)f(x)所以，即12x22lnx20a2.x2x1x222．解：（1）由xcos，ysin得C2的直角坐标方程为(x1)2y24.（2）由（1）知C2是圆心为A(1,0)，半径为2的圆.由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.|k2|4当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以2，故k或k0.经检验，当k0k2134时，l与C没有公共点；当k时，l与C只有一个公共点，l与C有两个公共点.1231222|k2|4当l2与C2只有一个公共点时，A到l