2015年广东高考（文科）数学试题及答案

二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11～13题）11．（5分）（2015•广东）不等式﹣x2﹣3x+4＞0的解集为 ．（用区间表示）2015年广东省高考数学试卷（文科）12．（5分）（2015•广东）已知样本数据x1，x2，…，xn的均值=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2xn+1 的均值为 ．一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学13．（5分）（2015•广东）若三个正数a，b，c成等比数列，其中a=5+2，c=5﹣2，则（文科）b= ．1．（5分）（2015•广东）若集合M={﹣1，1}，N={﹣2，1，0}则M∩N=（ ） A．{0．﹣1}B．{0}C．{1}D．{﹣1，1}坐标系与参数方程选做题2．（5分）（2015•广东）已知i是虚数单位，则复数（1+i）2=（ ）14．（5分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标A．2iB．﹣2iC．2D．﹣23．（5分）（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）系．曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲线C2的参数方程为（t为参数），则C1与C2A．y=x+sin2xB．y=x2﹣cosxC．y=2x+D．y=x2+sinx交点的直角坐标为 ． 4．（5分）（2015•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为（ ）几何证明选讲选做题15．（2015•广东）如图，AB为圆O的直径，E为AB的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A．2B．5C．8D．10A作直线EC的垂线，垂足为D．若AB=4．CE=2，则AD= ．5．（5分）（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（ ）A．3B．2C．2D．6．（5分）（2015•广东）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ） A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交三、解答题（共6小题，满分80分）C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交16．（12分）（2015•广东）已知tanα=2．7．（5分）（2015•广东）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件（1）求tan（α+）的值；次品的概率为（ ）A．0.4B．0.6C．0.8D．1（2）求的值．8．（5分）（2015•广东）已知椭圆+=1（m＞0）的左焦点为F1（﹣4，0），则m=（ ）17．（12分）（2015•广东）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），A．2B．3C．4D．9[200，220），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．9．（5分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，=（1，﹣2），=（2，1）则•=（ ）A．5B．4C．3D．210．（5分）（2015•广东）若集合E={（p，q，r，s）|0≤p＜s≤4，0≤q＜s≤4，0≤r＜s≤4且p，q，r，s∈N}，F={（t，u，v，w）|0≤t＜u≤4，0≤v＜w≤4且t，u，v，w∈N}，用card（X）表示集合X中的元素个数，则card（E）+card（F）=（ ）A．200B．150C．100D．50 （1）求直方图中x的值；第1页（共10页）（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？18．（14分）（2015•广东）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．（1）证明：BC∥平面PDA；（2）证明：BC⊥PD；（3）求点C到平面PDA的距离．*19．（14分）（2015•广东）设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N．已知a1=1，a2=，a3=，且当n≥2时，4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1．（1）求a4的值；（2）证明：{an+1﹣an}为等比数列；（3）求数列{an}的通项公式．2220．（14分）（2015•广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x+y﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．21．（14分）（2015•广东）设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当a≥2时，讨论f（x）+在区间（0，+∞）内的零点个数． 第2页（共10页）4．（5分）（2015•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为（ ）2015年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析A．2B．5C．8D．10 【考点】简单线性规划．菁优网版权所有一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学【专题】不等式的解法及应用．（文科）【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．1．（5分）（2015•广东）若集合M={﹣1，1}，N={﹣2，1，0}则M∩N=（ ）【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），A．{0．﹣1}B．{0}C．{1}D．{﹣1，1}由z=2x+3y，得y=，【考点】交集及其运算．菁优网版权所有【专题】集合．平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最【分析】进行交集的运算即可．【解答】解：M∩N={﹣1，1}∩{﹣2，1，0}={1}．大．故选：C．【点评】考查列举法表示集合，交集的概念及运算．由，解得， 2．（5分）（2015•广东）已知i是虚数单位，则复数（1+i）2=（ ）即B（4，﹣1）．A．2iB．﹣2iC．2D．﹣2此时z的最大值为z=2×4+3×（﹣1）=8﹣3=5，【考点】复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有故选：B．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用完全平方式展开化简即可．【解答】解：（1+i）2=12+2i+i2=1+2i﹣1=2i；故选：A．【点评】本题考查了复数的运算；注意i2=﹣1． 3．（5分）（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A．y=x+sin2xB．y=x2﹣cosxC．y=2x+D．y=x2+sinx【考点】函数奇偶性的判断．菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用．【分析】利用函数奇偶性的判断方法对选项分别分析选择．【解答】解：四个选项中，函数的定义域都是R，对于A，﹣x+sin（﹣2x）=﹣（x+sin2x）；是奇函数；【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．对于B，（﹣x）2﹣cos（﹣x）=x2﹣cosx；是偶函数； 对于C，，是偶函数；5．（5分）（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b对于D，（﹣x）2+sin（﹣x）=x2﹣sinx≠x2+sinx，x2﹣sinx≠﹣（x2+sinx）；所以是非奇非偶的函数；＜c，则b=（ ）故选：D．A．3B．2C．2D．【点评】本题考查了函数奇偶性的判断，在定义域关于原点对称的前提下，判断f（﹣x）与f（x）的关系，相等【考点】正弦定理．菁优网版权所有就是偶函数，相反就是奇函数．【专题】计算题；解三角形． 【分析】运用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，解关于b的方程，结合b＜c，即可得到b=2．第3页（共10页）∴该选项正确．【解答】解：a=2，c=2，cosA=．且b＜c，故选D．由余弦定理可得，【点评】考查异面直线的概念，在直接说明一个命题正确困难的时候，可说明它的反面不正确．a2=b2+c2﹣2bccosA， 7．（5分）（2015•广东）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件即有4=b2+12﹣4×b，次品的概率为（ ）解得b=2或4，A．0.4B．0.6C．0.8D．1由b＜c，可得b=2．【考点】古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有故选：C．【专题】概率与统计．【点评】本题考查三角形的余弦定理及应用，主要考查运算能力，属于中档题和易错题．【分析】首先判断这是一个古典概型，而基本事件总数就是从5件产品任取2件的取法，取到恰有一件次品的 取法可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．．（分）（广东）若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的652015•l1l2l1αl2βlαβ【解答】解：这是一个古典概型，从5件产品中任取2件的取法为；交线，则下列命题正确的是（ ）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交∴基本事件总数为10；C．l至多与l，l中的一条相交D．l至少与l，l中的一条相交1212设“选的2件产品中恰有一件次品”为事件A，则A包含的基本事件个数为=6；【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离．∴P（A）==0.6．【分析】可以画出图形来说明l与l1，l2的位置关系，从而可判断出A，B，C是错误的，而对于D，可假设不正确，这样l便和l1，l2都不相交，这样可退出和l1，l2异面矛盾，这样便说明D正确．故选：B．【解答】解：A．l与l1，l2可以相交，如图：【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率求法，明白基本事件和基本事件总数的概念，掌握组合数公式，分步计数原理． 8．（5分）（2015•广东）已知椭圆+=1（m＞0）的左焦点为F1（﹣4，0），则m=（ ）A．2B．3C．4D．9【考点】椭圆的简单性质．菁优网版权所有∴该选项错误；【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．B．l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；2C．l可以和l1，l2都相交，如下图：【分析】利用椭圆+=1（m＞0）的左焦点为F1（﹣4，0），可得25﹣m=16，即可求出m．【解答】解：∵椭圆+=1（m＞0）的左焦点为F1（﹣4，0），∴25﹣m2=16，∵m＞0，∴m=3，，∴该选项错误；故选：B．D．“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交；【点评】本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础．∵l和l1，l2都共面； ∴l和l1，l2都平行；∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；第4页（共10页）u=1时：若w=4，t，v的取值的排列情况有1×4=4种；9．（5分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，=（1，﹣2），=若w=3，有1×3=3种；若w=2，有1×2=2种；（2，1）则•=（ ）若w=1，有1×1=1种；A．5B．4C．3D．2∴card（F）=100；【考点】平面向量数量积的运算．菁优网版权所有∴card（E）+card（F）=200．【专题】计算题；平面向量及应用．故选A．【点评】考查描述法表示集合，分布计数原理的应用，注意要弄清讨论谁，做到不重不漏．【分析】由向量加法的平行四边形法则可求=的坐标，然后代入向量数量积的坐标表示可求 二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小