2019年广东高考（理科）数学试题及答案

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。sinxx5．函数f(x)=在[,]的图像大致为2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如cosxx2需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置A．B．上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。C．D．4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻的。“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是21．已知集合M{x4x2}，N{xxx60，则MN=A．{x4x3B．{x4x2C．{x2x2D．{x2x32．设复数z满足zi=1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则5112111A．B．C．D．16323216A．(x+1)2y21B．(x1)2y21C．x2(y1)21D．x2(y+1)217．已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为3．已知alog0.2，b20.2，c0.20.3，则ππ2π5π2A．B．C．D．6336A．abcB．acbC．cabD．bca18．如图是求的程序框图，图中空白框中应填入1515124．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称12222为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长51度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为262cm，则其身高可能是15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．x2y216．已知双曲线C：1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别a2b2交于A，B两点．若F1AAB，F1BF2B0，则C的离心率为____________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。1111（一）必考题：共60分。A．A=B．A=2C．A=D．A=12AA12A2A17．(12分)9．记S为等差数列{a}的前n项和．已知S0，a5，则nn45△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinBsinC)2sin2AsinBsinC．1A．a2n5B．a3n10C．S2n28nD．Sn22nnnnn2（1）求A；10．已知椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|2|F2B|，（2）若2ab2c，求sinC．18．（12分）|AB||BF1|，则C的方程为如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，2222222x2xyxyxyA．y1B．1C．1D．1，的中点．2324354BB1A1D11．关于函数f(x)sin|x||sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（,）单调递增2③f(x)在[,]有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A．①②④B．②④C．①④D．①③（1）证明：MN∥平面C1DE；12．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为19．（12分）A．86B．46C．26D．63已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；2x13．曲线y3(xx)e在点(0，0)处的切线方程为____________．（2）若AP3PB，求|AB|．1214．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a，aa，则S5=____________．134620．（12分）111已知函数f(x)sinxln(1x)，f(x)为f(x)的导数．证明：（1）a2b2c2；abc（1）f(x)在区间(1,)存在唯一极大值点；（2）(ab)3(bc)3(ca)324．2（2）f(x)有且仅有2个零点．21．（12分）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i0,1,,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p00，p81，piapi1bpicpi1(i1,2,,7)，其中aP(X1)，bP(X0)，cP(X1)．假设0.5，0.8．(i)证明：{pi1pi}(i0,1,2,,7)为等比数列；(ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）1t2x，1t2在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半4ty1t2轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin110．（1）求C和l的直角坐标方程；2019年普通高等学校招生全国统一考试（2）求C上的点到l距离的最小值．理科数学解析23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：21.已知集合Mx4x2，N{xxx60，则MN=A.{x4x3B.{x4x2C.{x2x2D.{x2x3x42.07cm,y5.15cm．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm．故选B．【答案】C总结：本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解sinxx题．函数在—，的图像大致为5.f(x)=2[ππ]【详解】由题意得，Mx4x2,Nx2x3，则cosxxMNx2x2．故选C．A.B.总结：不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2.设复数z满足zi=1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则22222222A.(x+1)y1B.(x1)y1C.x(y1)1D.x(y+1)1【答案】CC.D.【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为【答案】D1，可选正确答案C．【分析】【详解】zxyi,zix(y1)i,zix2(y1)21,则x2(y1)21．故选C．先判断函数的奇偶性，得f(x)是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．总结：本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方sin(x)(x)sinxx程思想解题．【详解】由f(x)22f(x)，得f(x)是奇函数，其图象关于原点对称．又0.20.3cos(x)(x)cosxx3.已知alog0.2,b2,c0.2，则21A.abcB.acbC.cabD.bca42f()21,f()0．故选D．【答案】B222()21【分析】2运用中间量0比较a,c，运用中间量1比较b,c总结：本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用0.200.30数形结合思想解题．【详解】alog20.2log210,b221,00.20.21,则0c1,acb．故选B．总结：本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻思想解题．“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是51514.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称22为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度51之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则25112111其身高可能是A.B.C.D.16323216【答案】A【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．63【详解】由题知，每一爻有2中情况，一重卦的6爻有2情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有C6，所以该重C35卦恰有3个阳爻的概率为6=，故选A．6A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm216总结：对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问【答案】B题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排【分析】列问题即为组合问题．理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求