2009年广东高考（理科）数学试题及答案

绝密★启用前试卷类型：BＡ．６Ｂ．２Ｃ．25Ｄ．27A2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）7．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小F1罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工D作，若其中小张和小CF3O数学（理科）赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共F2有B本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。Ａ．36种Ｂ．12种Ｃ．18种Ｄ．48种注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为和（如图所示）．那么对于图中给定的和，下处”。v甲v乙2t0t12．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮列判断中一定正确的是．在时刻，甲车在乙车前面擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。At13．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；B．t1时刻后，甲车在乙车后面如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答C．在t0时刻，两车的位置相同案无效。D．t0时刻后，乙车在甲车前面4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．1（一）必做题（９～１２题）参考公式：锥体的体积公式Vsh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高９．随机抽取某产品件，测得其长度分别为，则图所示的程序框图输出的，表示的样本的3na1,a2,,an3s一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．数字特征是．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：１．巳知全集UR，集合M{x2x12}和N{xx2k1,k1,2,}的关系的韦恩（Ｖenn）图如图1=”）所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A．３个Ｂ．２个１０．若平面向量a,b满足ab1，ab平行于x轴，b(2,1)，Ｃ．１个Ｄ．无穷个则a．２．设z是复数，a(z)表示满足zn1的最小正整数n，则对虚数单位i，a(i)11．巳知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为3Ａ．８Ｂ．６Ｃ．４Ｄ．２，且G上2x一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为３．若函数yf(x)是函数ya(a0,且a1)的反函数，其图像经过点(a,a)，则f(x)_________________．1Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2log2xlog1xxx223。．已知离散型随机变量的分布列如右表．若，，则12XEX0DX12na，b．４．巳知等比数列{a}满足a0,n1,2,，且aa2(n3)，则当n1时，nn52n5log2a1log2a3log2a2n1Ａ．n(2n1)Ｂ．(n1)2Ｃ．n2Ｄ．(n1)2（二）选做题（13~15题，考生只能从中选做两题）413．（坐标系与参数方程选做题）若直线x12t,xs,数）垂直，则l1:．(t为参数)与直线l2:（s为参ky2kt.y12s.5．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；x114．（不等式选讲选做题）不等式1的实数解为．④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是x2Ａ．①和②Ｂ．②和③Ｃ．.③和④Ｄ．②和④15．(几何证明选讲选做题）如图4，点A,B,C是圆O上的点，且6．一质点受到平面上的三个力F,F,F（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F,F成600角，且F,F的大1231212AB4,ACB450，则圆O的面积等于．小分别为２和４，则F的大小为3122251（２）若曲线G:x2axy4ya0与D有公共点，试求a的最小值．25三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，20．（本小题满分１４分）已知二次函数yg(x)的导函数的图像与直线y2x平行，且yg(x)在x1处取得极小值m1(m0)16．(本小题满分12分）g(x)．设f(x)．已知向量a(sin,2)与b(1,cos)互相垂直，其中(0,)．x2（1）求sin和cos的值；（１）若曲线yf(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2，求m的值；10（２）k(kR)如何取值时，函数yf(x)kx存在零点，并求出零点．（2）若sin(),0，求cos的值．10221．（本小题满分１４分）已知曲线22．从点向曲线引斜率为的切线，切点为Cn:x2nxy0(n1,2,)P(1,0)Cnkn(kn0)lnPn(xn,yn)．17．（本小题满分12分）（１）求数列与的通项公式；根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:{xn}{yn}对某城市一1xx（２）证明：xxxxn2sinn年（365天）的空1352n11xy气质量进行监测，nn获得API数据按照区间[0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]进行分组，得到频率分布直方图如图5（1）求直方图中x的值；（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.(结果用分数表示．已知5778125,27128,32738123,18253651825182591259125365735）18．（本小题满分１４分）如图６，已知正方体的棱长为２，点Ｅ是正方ABCDA1B1C1D1形的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱的中点．设点BCC1B1C1D1,AA1E1,G1分别是点Ｅ、Ｇ在平面DCC1D1内的正投影．（１）求以Ｅ为顶点，以四边形FGAE在平面DCCD内11的正投影为底面边界的棱锥的体积；（２）证明：直线FG1平面FEE1；（３）求异面直线EG与EA所成角的正弦值1119．（本小题满分１４分）答案2已知曲线C:yx与直线l:xy20交于两点A(x,y)和B(xB,yB)AA，且xx．记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．设点P(s,t)是LAB1.解：M{x|1x3}，N{1,3,5,}，所以MN{1,3}上的任一点，且点P与点A和点B均不重合．故，选B（１）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；234n2.解：因为i1，ii，i1，所以满足i1的最小正整数n的值是4。故，选C2.解：由函数y＝f(x)是函数yax(a0,且a1)的反函数，可知f(x)logx，15aabc1a11212又其图像经过点(a,a)，即logaa，所以a=,f(x)logx。故答Ba21112a0c20，解得b2n210526124。解：在a5a2n52(n3)中，令n=5,得a52(2)，令n=3,得a5a12，211a0c21c5n124又a0,n1,2,，所以a2，a2，从而解得，公比q2，a2，n51n2n1，，a2n12log2a2n12n151答：；n(12n1)所以…（）2124log2a1log2a3log2a2n11+3++2n-1=n2x12t,k13．解：直线为参数化为普通方程是，5.解：显然①和③是假命题，故否定A,B,C,答D.l1:(t)y2(x1)y2kt.26.解：依题意，可知F1F2F30，所以F3(F1F2)，k该直线的斜率为，22222o2212F3F1F2(F1F2)F1F22F1F2cos60=24224=28.2xs,直线l2:（s为参数）化为普通方程是y2x1，所以，力F3的大小为F32827，答D。y12s.22该直线的斜率为2，7。解：若小张和小赵两人都被选中，则不同的选派方案有A2A312种，113k若小张和小赵两人只有一人都被选中，则不同的选派方案有C2C2A324种，则由两直线垂直的充要条件，得21，k1。2故，总的不同的选派方案共有12+24=36种。答A。22tx1x1x2(x1)(x2)2x308.解：因为速度函数v(t)是路程函数s(t)的导函数，即s(t)v(t)，所以s(t)v(t)dt，14。解：10x2x20x2x2根据定积分的定义，比较图中速度曲线v和v分别与x轴及直线tt，tt甲乙0133围成的图形的面积，即可看出，应选A。解得x且x2。所以原不等式的解集为{x|x且x2}2215．解法一：连结OA，OB，则∠AOB=2∠ACB=90O，9.解：记时求得的S值为,记初始值为,ikSkS00所以△AOB为等腰直角三角形，又AB4，220S0a1a11S1a2a1a2所以，圆O的半径R=22，圆O的面积等于R(22)8则S1,S2,11222Saaaa解法二：设圆O的半径为R，在△ABC中，由正弦定理，S23123,……,3433得2R，解得R=22，(n1)Saaaasin45oSn1n12nnnn所以，圆O的面积等于R2(22)28aaa16．解：（1）∵向量a＝sin－2与b＝1，cos互相垂直，故,答案为(1)12n；(2)这n件产品的平均长度。’n∴absin2cos0，即sin2cos①，10。解：设a(x,y)，则ab(x2,y1)，依题意，得又sin2cos21②22(x2)(y1)1x1x321，解得或，所以a(1,1)或a(3,1)。①代入②，整理，得cos，5y10y1y1答：(1,1)或(3,1)。由0,，可知cos0，2x2y211.解：设椭圆G的方程为，焦半径为c,221(ab0)525ab∴cos，代入①得sin55c3222依题意，得2a=12，且，解得a=6，c=33,所以bac36279525a2故cos，sin。x2y255所以，椭圆G的方程为1。369（2）∵5cos()35cos，12。解：依题意，得∴5(coscossinsin)35cos525将（）的结果代入其中，得15cossin35cos55322整理，得sincos③，又sincos1④又EE1∩E1F=E11∴FG平面FEE；③代入④，整理，得cos2112（３）设GG1的中点为H，连结EH，E1G1则∥∥，且==，由0，可知cos0，EHE1G1CDEHE1G1CD=22∠AEH就是异面直