2013年广东高考(文科)数学试题及答案

2023-10-27 · U3 上传 · 7页 · 1.2 M

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类10.(2013广东,文10)设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解,有如下四个命题:①给定向量b,总存在向量c,使a=b+c;(广东卷)②给定向量b和c,总存在实数λ和μ,使a=λb+μc;③给定单位向量b和正数μ,总存在单位向量c和实数λ,使a=λb+μc;④给定正数λ和μ,总存在单位向量b和单位向量c,使a=λb+μc.上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是( ).A.1B.2C.3D.4一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.的.(一)必做题(11~13题)1.(2013广东,文1)设集合S={x|x2+2x=0,x∈R},T={x|x2-2x=0,x∈R},则S∩T=( ).11.(2013广东,文11)设数列{a}是首项为1,公比为-2的等比数列,则a+|a|+a+|a|=__________.A.{0}B.{0,2}C.{-2,0}D.{-2,0,2}n123412.(2013广东,文12)若曲线y=ax2-lnx在(1,a)处的切线平行于x轴,则a=__________.lgx12.(2013广东,文2)函数y的定义域是( ).xy30,x1A.(-1,+∞)B.[-1,+∞)13.(2013广东,文13)已知变量x,y满足约束条件1x1,则z=x+y的最大值是__________.C.(-1,1)∪(1,+∞)D.[-1,1)∪(1,+∞)y1,3.(2013广东,文3)若i(x+yi)=3+4i,x,y∈R,则复数x+yi的模是( ).(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)A.2B.3C.4D.514.(2013广东,文14)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.以极点为原点,5π1极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C的参数方程为__________.4.(2013广东,文4)已知sin,那么cosα=( ).2515.(2013广东,文15)(几何证明选讲选做题)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=3,BE⊥AC,垂足为E,2112则ED=__________.A.5B.5C.5D.55.(2013广东,文5)执行如图所示的程序框图,若输入n的值为3,则输出s的值是( ).A.1B.2C.4D.76.(2013广东,文6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.( ).π16.(2013广东,文16)(本小题满分12分)已知函数f(x)2cosx,x∈R.12π(1)求f的值;333ππ(2)若cosθ=,θ∈,2π,求f.526112633A.B.C.D.1227.(2013广东,文7)垂直于直线y=x+1且与圆x+y=1相切于第Ⅰ象限的直线方程是( ).A.x+y-2=0B.x+y+1=0C.x+y-1=0D.x+y+2=08.(2013广东,文8)设l为直线,α,β是两个不同的平面.下列命题中正确的是( ).A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l⊥α,l⊥β,则α∥β17.(2013广东,文17)(本小题满分12分)从一批苹果中,随机抽取50个,其重量(单位:克)的频数分布表如C.若l⊥α,l∥β,则α∥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥β下:1分组(重量)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)9.(2013广东,文9)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是( ).2频数(个)5102015(1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率;x2y2x2y2x2y2x2y21111(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个,其中重量在[80,85)的有几个?A.34B.43C.42D.43(3)在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率.2013广东文科数学第1页18.(2013广东,文18)(本小题满分14分)如图(1),在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起,得到如图(2)所示的三棱锥A-BCF,其中BC2=.2图(1)图(2)(1)证明:DE∥平面BCF;(2)证明:CF⊥平面ABF;2(3)当AD=时,求三棱锥F-DEG的体积VF-DEG.3219.(2013广东,文19)(本小题满分14分)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足4Sn=an+1-4n-1,*n∈N,且a2,a5,a14构成等比数列.(1)证明:a24a15;(2)求数列{an}的通项公式;1111(3)证明:对一切正整数n,有.a1a2a2a3anan122013广东文科数学第2页20.(2013广东,文20)(本小题满分14分)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-232=0的距离为.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.2(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.2013广东文科数学第3页21.(2013广东,文21)(本小题满分14分)设函数f(x)=x3-kx2+x(k∈R).(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当k<0时,求函数f(x)在[k,-k]上的最小值m和最大值M.2013广东文科数学第4页2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(广东卷)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.答案:A解析:∵S={-2,0},T={0,2},∴S∩T={0}.2.答案:Cx10,对于A,设l为AA,平面BBCC,平面DCCD为α,β.解析:要使函数有意义,则11111x10,A1A∥平面B1BCC1,A1A∥平面DCC1D1,解得x>-1且x≠1,而平面B1BCC1∩平面DCC1D1=C1C;故函数的定义域为(-1,1)∪(1,+∞).对于C,设l为A1A,平面ABCD为α,平面DCC1D1为β.A1A⊥平面ABCD,A1A∥平面DCC1D1,3.而平面ABCD∩平面DCC1D1=DC;答案:D对于D,设平面A1ABB1为α,平面ABCD为β,直线D1C1为l,平面A1ABB1⊥平面ABCD,D1C1∥平面A1ABB1,而解析:∵i(x+yi)=-y+xi=3+4i,D1C1∥平面ABCD.故A,C,D都是错误的.x4,∴而对于B,根据垂直于同一直线的两平面平行,知B正确.y3.9.∴x+yi=4-3i.答案:D∴|x+yi|=4232=5.解析:由中心在原点的椭圆C的右焦点F(1,0)知,c=1.1c14.又离心率等于,则,得a=2.答案:C2a2由b2=a2-c2=3,5ππ解析:∵sinsin2πx2y222故椭圆C的方程为1.43π1=sin=cosα=,10.25答案:B1解析:对于①,由向量加法的三角形法则知正确;对于②,由平面向量基本定理知正确;对于③,以a的终点作长∴cosα=.5度为μ的圆,这个圆必须和向量λb有交点,这个不一定能满足,故③不正确;对于④,利用向量加法的三角形5.法则,结合三角形两边之和大于第三边,即必须|λb|+|μc|=λ+μ≥|a|,故④不正确.答案:C二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.解析:i=1,s=1,i≤3,s=1+0=1,i=2;(一)必做题(11~13题)i≤3,s=1+1=2,i=3;11.答案:15n-1i≤3,s=2+2=4,i=4;解析:由数列{an}首项为1,公比q=-2,则an=(-2),a1=1,a2=-2,a3=4,a4=-8,则a1+|a2|+a3+i>3,s=4.|a4|=1+2+4+8=15.6.112.答案:答案:B2解析:由俯视图知底面为直角三角形,又由正视图及侧视图知底面两直角边长都是1,且三棱锥的高为2,故V三棱1111解析:由曲线在点(1,a)处的切线平行于x轴得切线的斜率为0,由y′=2ax-及导数的几何意义得y′|x=1=锥=××1×1×2=.x32317.2a-1=0,解得a=.答案:A213.答案:5解析:由于所求切线垂直于直线y=x+1,可设所求切线方程为x+y+m=0.由圆心到切线的距离等于半径得解析:由线性约束条件画出可行域如下图,平移直线l,当l过点A(1,4),即当x=1,y=4时,z=5.|m|0max1,解得m2.2又由于与圆相切于第Ⅰ象限,则m2.8.答案:B解析:如图,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,2013广东文科数学第5页4sinθ=1cos2,5ππ∴f2cos64ππ1=2coscossinsin.44517.20解:(1)苹果的重量在[90,95)的频率为=0.4;505(2)重量在[80,85)的有4×=1个;(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)515x1cos,(3)设这4个苹果中[80,85)分段的为1,[95,100)分段的为2,3,4,从中任取两个,可能的情况有:(1,2),14.答案:(φ为参数)(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种.任取2个,重量在[80,85)和[95,100)中各有1个记为事件A,则ysin31解析:由曲线C的极坐标方程ρ=2cosθ知以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系知曲线C是以事件A包含有(1,2),(1,3),(1,4),共3种,所以P(A)=.62x1cos,(1,0)为圆心,半径为1的圆,其方程为(x-1)2+y2=1,故参数方程为(φ为参数).18.ysin(1)证明:在等边三角形ABC中,15.ADAE∵AD=AE,∴.21DBEC答案:ADAE2又,在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立,BCDBEC解析:在Rt△ABC中,AB=3,BC=3,tan∠BAC=3,AB∴DE∥BC.∵DE平面BCF,BC平面BCF,∴DE∥平面BCF.1(2)证明:在等边三角形ABC中,∵F是BC的中点,BC=1,∴AF⊥CF,BF=CF=.22∵在三棱锥A-BCF中,BC=,213222则∠BAC=60°,AE=AB=.∴BC=BF+CF.∴CF⊥BF.22∵BF∩AF=F,∴CF⊥平面ABF.在△AED中,∠EAD=30°,AD=3,(3)解:由(1)可知GE∥CF,结合(2)可得GE⊥平面DFG.222ED=AE+AD-2AE·ADcos∠EAD1111113132∴VF-DEG=VE-DFG=×·DG·FG·GE=.33=+32-2××3×cos30°323233233242219.(1)证明:当n=1时,4a=a2-5,∴a2=4a+5.3331221=+9-2××3×∵an>0,∴a4a5.42221221(2)解:当n≥2时,4Sn-1=an-4(n-1)-1,①=.24Sn=an+1-4n-1,②422由②-①,得4an=4Sn-4Sn-1=an+1-an-4,21222∴

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