2011年高考文科数学陕西卷试题与答案

2011年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）文科数学选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.设是向量，命题“若，则∣∣=∣∣”的逆命题是【】（A）若，则∣∣∣∣（B）若，则∣∣∣∣（C）若∣∣∣∣，则∣∣∣∣（D）若∣∣=∣∣，则=-2.设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是【】（A）（B）(C)(D)3.设，则下列不等式中正确的是【】（A）（B）（c）(D)4.函数的图像是【】某几何体的三视图如图所示，则它的体积是【】8-2π6.方程在内【】(A)没有根(B)有且仅有一个根(C)有且仅有两个根（D）有无穷多个根7.如右框图，当时，等于【】(A)7(B)8(C)10（D）118.设集合M={y|x—x|,x∈R},N={x||x—|<,i为虚数单位，x∈R},则M∩N为【】(A)(0,1)(B)(0,1](C)[0,1)(D)[0,1]9.设···，是变量和的次方个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（）(A)直线过点（B）和的相关系数为直线的斜率（C）和的相关系数在0到1之间（D）当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同10.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（）（A）(1)和（20）（B）(9)和（10）(C)（9）和（11）(D)（10）和（11）填空题。（共5道小题，每小题5分，共25分）11．设，则______.如图，点（x,y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2x-y的最小值为________.观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第五个等式应为__________________.设n∈,一元二次方程有整数根的充要条件是n=_____.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A.（不等式选做题）若不等式对任意恒成立，则a的取值范围是__________。B.（几何证明选做题）如图，且AB=6，AC+4，AD+12，则AE=_______.C.（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B分别在曲线（为参数）和曲线上，则的最小值为________.解答题：接答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）（本小题满分12分）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD高，沿AD把是BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°。（Ⅰ）证明：平面ＡＤＢ  ⊥平面ＢＤＣ；（Ⅱ ）设BD=1，求三棱锥D—ＡＢＣ的表面积。17.（本小题满分12分）设椭圆C:过点（0，4），离心率为（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标18.（本小题满分12分）叙述并证明余弦定理。19.（本小题满分12分）如图，从点做x轴的垂线交曲线于点曲线在点处的切线与x轴交于点，再从做x轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：记点的坐标为.（Ⅰ）试求与的关系（ Ⅱ）求20.（本小题满分13分）如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：（Ⅰ）试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;（Ⅱ ）分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;（Ⅲ ）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径。21.（本小题满分14分）设。（Ⅰ）求的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论与的大小关系；（Ⅲ）求的取值范围，使得＜对任意＞0成立。2011年普通高等学校招生全国统一考试·陕西卷(文科)全解全析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．1．设，是向量，命题“若，则”的逆命题是（）（A）若，则（B）若，则（C）若，则（D）若，则【分析】首先确定原命题的条件和结论，然后交换条件和结论的位置即可得到逆命题。【解】选D原命题的条件是，作为逆命题的结论；原命题的结论是，作为逆命题的条件，即得逆命题“若，则”，故选D．2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是（）（A）（B）（C）（D）【分析】由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键．【解】选C由准线方程得,且抛物线的开口向右（或焦点在轴的正半轴），所以．3.设，则下列不等式中正确的是（）（A）（B）（c）(D)【分析】根据不等式的性质，结合作差法，放缩法，基本不等式或特殊值法等进行比较．【解】选B（方法一）已知和，比较与，因为，所以，同理由得；作差法：，所以，综上可得；故选B．（方法二）取，，则，，所以．4.函数的图像是（）【分析】已知函数解析式和图像，可以用取点验证的方法判断．【解】选B取，，则，，选项B，D符合；取，则，选项B符合题意．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）8-2π【分析】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算．【解】选A由几何体的三视图可知几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是.6.方程在内（）(A)没有根(B)有且仅有一个根(C)有且仅有两个根（D）有无穷多个根【分析】数形结合法，构造函数并画出函数的图象，观察直观判断．【解】选C构造两个函数和，在同一个坐标系内画出它们的图像，如图所示，观察知图像有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根．7.如右框图，当时，等于（）(A)7(B)8(C)10（D）11【分析】按照程序框图的逻辑顺序进行计算．【解】选B∵∴；又，，显然不成立，即为“否”，∴有，即，此时有，解得，符合题意，故选B．8.设集合，，为虚数单位，R，则为（）(A)(0,1)(B)(0,1](C)[0,1)(D)[0,1]【分析】确定出集合的元素是关键。本题综合了三角函数、复数的模，不等式等知识点。【解】选C，所以；因为，即，所以，又因为R，所以，即；所以，故选C.9．设···，是变量和的个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（）(A)直线过点（B）和的相关系数为直线的斜率（C）和的相关系数在0到1之间（D）当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同【分析】根据最小二乘法的有关概念：样本点的中心，相关系数线，性回归方程的意义等进行判断．【解】选A选项具体分析结论A回归直线一定过样本点中心；由回归直线方程的计算公式可知直线必过点正确B相关系数用来衡量两个变量之间的相关程度，直线的斜率表示直线的倾斜程度；它们的计算公式也不相同不正确C相关系数的值有正有负，还可以是0；当相关系数在0到1之间时，两个变量为正相关，在到0之间时，两个变量负相关不正确D两侧的样本点的个数分布与的奇偶性无关，也不一定是平均分布不正确10．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（）（A）①和（B）⑨和⑩(C)⑨和(D)⑩和【分析】根据选项分别计算四种情形的路程和；或根据路程和的变化规律直接得出结论．【解】选D（方法一）选项具体分析结论A①和：比较各个路程和可知D符合题意B⑨：⑩：=2000C：=2000D⑩和：路程和都是2000（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和进行比较即可。树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是；树苗放在第10个（或第11个）树坑旁边时，路程总和是，所以路程总和最小为2000米.填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．设，则______.【分析】由算起，先判断的范围，是大于0，还是不大于0,；再判断作为自变量的值时的范围，最后即可计算出结果．【解】∵，∴，所以，即．【答案】12．如图，点在四边形ABCD内部和边界上运动，那么的最小值为________.【分析】本题为线性规划问题，采用数形结合法解答，解答本题的关键是确定目标函数过哪一个点时取得最小值．【解】目标函数，当时，，所以当取得最大值时，的值最小；移动直线，当直线移动到过点A时，最大，即的值最小，此时．【答案】113．观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第五个等式应为__________________.【分析】归纳总结时，看等号左边是子的变化规律，右边结果的特点，根据以上规律写出第五个等式，注意行数、项数及其变化规律是解答本题的关键．【解】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数，加数的个数是；等式右边都是完全平方数，行数等号左边的项数1=1112+3+4=9233+4+5+6+7=25354+5+6+7+8+9+10=4947则第5行等号的左边有9项，右边是9的平方，所以，即．【答案】（或）14．设，一元二次方程有整数根的充要条件是．【分析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算．【解】，因为是整数，即为整数，所以为整数，且，又因为，取验证可知符合题意；反之时，可推出一元二次方程有整数根．【答案】3或415．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若不等式对任意R恒成立，则的取值范围是．【分析】先确定的取值范围，则只要不大于的最小值即可．【解】当时，；当时，；当时，；综上可得，所以只要，即实数的取值范围是．【答案】B．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，，，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE=．【分析】寻找两个三角形相似的条件，再根据相似三角形的对应边成比例求解．【解】因为，所以∠AEB=，又因为∠B=∠D，所以△AEB∽△ACD，所以,所以．【答案】2C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系中，以原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线：（为参数）和曲线：上，则的最小值为．【分析】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程．【解】曲线的方程是，曲线的方程是，两圆外离，所以的最小值为．【答案】1解答题：接答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）（本小题满分12分）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°。（1）证明：平面ＡＤＢ⊥平面ＢＤＣ；（2 ）设BD=1，求三棱锥D—ＡＢＣ的表面积。【分析】（1）确定图形在折起前后的不变性质，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明；（2）充分利用垂直所得的直角三角形，根据直角三角形的面积公式计算．【解】（1）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，∴ 当Δ ＡＢＤ折起后，AD⊥ＤＣ，AD⊥ＤＢ，又DBＤＣ＝Ｄ，∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ，又∵AD平面BDC.∴平面ABD⊥平面BDC．（2）由（1）知，DA,,,DB=DA=DC=1，AB=BC=CA=,∴三棱锥D—ＡＢＣ的表面积是17.（本小题满分12分）设椭圆:过点（0，4），离心率为．（1）求的方程；（2）求过点（3，0）且斜