绝密★启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学试卷(文史类)(满分150分,考试时间120分钟)考生注意1.本场考试时间120分钟,试卷共4页,满分150分,答题纸共2页.2.作答前,在答题纸正面填写姓名、准考证号,反面填写姓名,将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域,不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题,用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题(本大题满分48分)本大题共有12题,只要求直接填写结果,每个空填对得4分,否则一律得零分。1、已知,集合,若,则实数。2、已知两条直线若,则____.3、若函数的反函数的图像过点,则。4、计算:。5、若复数满足(为虚数单位),其中则。6、函数的最小正周期是_________。7、已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为,则双曲线的标准方程是____________________.8、方程的解是_______.9、已知实数满足,则的最大值是_________.10、在一个小组中有8名女同学和4名男同学,从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者,那么选到的两名都是女同学的概率是______(结果用分数表示)。11、若曲线与直线没有公共点,则的取值范围是_________.12、如图,平面中两条直线和相交于点,对于平面上任意一点,若分别是到直线和的距离,则称有序非负实数对是点的“距离坐标”,根据上述定义,“距离坐标”是(1,2)的点的个数是____________.二、选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得4分,不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分。13、如图,在平行四边形中,下列结论中错误的是()(A)(B)(C)(D)14、如果,那么,下列不等式中正确的是()(A)(B)(C)(D)15、若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的()(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件16、如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是(A)48(B)18(C)24(D)36三、解答题(本大题满分86分)本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要的步骤。17、(本题满分12分)已知是第一象限的角,且,求的值。18、(本题满分12分)如图,当甲船位于A处时获悉,在其正东方方向相距20海里的处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西,相距10海里处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援(角度精确到)?19、(本题满分14)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分。在直三棱柱中,.(1)求异面直线与所成的角的大小;(2)若与平面S所成角为,求三棱锥的体积。20、(本题满分14)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分。设数列的前项和为,且对任意正整数,。(1)求数列的通项公式(2)设数列的前项和为,对数列,从第几项起?21、本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分。已知在平面直角坐标系中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为,右顶点为,设点.(1)求该椭圆的标准方程;(2)若是椭圆上的动点,求线段中点的轨迹方程;(3)过原点的直线交椭圆于点,求面积的最大值。22(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3小题满分6分。已知函数有如下性质:如果常数,那么该函数在上是减函数,在上是增函数。(1)如果函数在上是减函数,在上是增函数,求的值。(2)设常数,求函数的最大值和最小值;(3)当是正整数时,研究函数的单调性,并说明理由。上海数学(文史类)参考答案一、(第1题至笫12题)1.42.23.4.5.36.π7.8.59.010.11.-11,∴y>1或y<-1,曲线与直线没有公共点,则的取值范围是[-1,1].12、如图,平面中两条直线和相交于点,对于平面上任意一点,若分别是到直线和的距离,则称有序非负实数对是点的“距离坐标”,根据上述定义,“距离坐标”是(1,2)的点可以在两条直线相交所成的四个区域内各找到一个,所以满足条件的点的个数是4个.二、选择题:13.C14.A15.A16.DABCD13.如图,在平行四边形ABCD中,根据向量的减法法则知,所以下列结论中错误的是C.14、如果,那么,∴,选A.15、若空间中有两条直线,若“这两条直线为异面直线”,则“这两条直线没有公共点”;若“这两条直线没有公共点”,则“这两条直线可能平行,可能为异面直线”;∴“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件,选A.16、如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”,分情况讨论:①对于每一条棱,都可以与两个侧面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有2×12=24个;②对于每一条面对角线,都可以与一个对角面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有12个;所以正方体中“正交线面对”共有36个.选D.三、(第17题至笫22题)17.解:=由已知可得sin,∴原式=.18.解:连接BC,由余弦定理得BC2=202+102-2×20×10COS120°=700.于是,BC=10.∵,∴sin∠ACB=,∵∠ACB<90°∴∠ACB=41°∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.19.解:(1)∵BC∥B1C1,∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成角(或它的补角)∵∠ABC=90°,AB=BC=1,∴∠ACB=45°,∴异面直线B1C1与AC所成角为45°.(2)∵AA1⊥平面ABC,∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角,∠ACA=45°.∵∠ABC=90°,AB=BC=1,AC=,∴AA1=.∴三棱锥A1-ABC的体积V=S△ABC×AA1=.20.解(1)∵an+Sn=4096,∴a1+S1=4096,a1=2048.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(4096-an)-(4096-an-1)=an-1-an∴=an=2048()n-1.(2)∵log2an=log2[2048()n-1]=12-n,∴Tn=(-n2+23n).由Tn<-509,解待n>,而n是正整数,于是,n≥46.∴从第46项起Tn<-509.21.解(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1.又椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆的标准方程为(2)设线段PA的中点为M(x,y),点P的坐标是(x0,y0),由x=得x0=2x-1y=y0=2y-由,点P在椭圆上,得,∴线段PA中点M的轨迹方程是.(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入,解得B(,),C(-,-),则,又点A到直线BC的距离d=,∴△ABC的面积S△ABC=于是S△ABC=由≥-1,得S△ABC≤,其中,当k=-时,等号成立.∴S△ABC的最大值是.22.解(1)由已知得=4,∴b=4.(2)∵c∈[1,4],∴∈[1,2],于是,当x=时,函数f(x)=x+取得最小值2.f(1)-f(2)=,当1≤c≤2时,函数f(x)的最大值是f(2)=2+;当2≤c≤4时,函数f(x)的最大值是f(1)=1+c.(3)设0
2006年上海高考数学真题(文科)试卷(word解析版)
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