绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学试卷(文史类)(满分150分,考试时间120分钟)考生注意1.本场考试时间120分钟,试卷共4页,满分150分,答题纸共2页.2.作答前,在答题纸正面填写姓名、准考证号,反面填写姓名,将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域,不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题,用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.函数的最小正周期是 .2.若复数z=1+2i,其中i是虚数单位,则=___________.3.设常数,函数,若,则 .4.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为___________.5.某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名,为了解该校高中学生的牙齿健康状况,按各年级的学生数进行分层抽样,若高三抽取20名学生,则高一、高二共抽取的学生数为 .6.若实数x,y满足xy=1,则+的最小值为______________.7.若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与底面角的大小为(结果用反三角函数值表示).8.在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图,则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 .9.设若是的最小值,则的取值范围是 .10.设无穷等比数列{}的公比为q,若,则q=.11.若,则满足的取值范围是.12.方程在区间上的所有解的和等于 .13.为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是(结构用最简分数表示).14.已知曲线C:,直线l:x=6.若对于点A(m,0),存在C上的点P和l上的点Q使得,则m的取值范围为.二、选择题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.15.设,则“”是“”的()充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件16.已知互异的复数满足,集合={,},则= ( )(A)2 (B)1 (C)0 (D)17.如图,四个边长为1的正方形排成一个大正方形,AB是在正方形的一条边,是小正方形的其余各个顶点,则的不同值的个数为()(A)7 (B)5 (C)3 (D)118.已知与是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组的解的情况是()(A)无论k,如何,总是无解 (B)无论k,如何,总有唯一解(C)存在k,,使之恰有两解(D)存在k,,使之有无穷多解三.解答题(本大题共5题,满分74分)19、(本题满分12分)底面边长为2的正三棱锥,zxxk其表面展开图是三角形,如图,求△的各边长及此三棱锥的体积.(本题满分14分)本题有2个小题,学科网第一小题满分6分,第二小题满分1分。设常数,函数若=4,求函数的反函数;根据的不同取值,讨论函数的奇偶性,并说明理由.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图,某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌,其中为顶端,长35米,长80米,设在同一水平面上,从和看的仰角分别为.设计中是铅垂方向,若要求,问的长至多为多少学科网(结果精确到0.01米)?施工完成后.与铅垂方向有偏差,现在实测得zxxk求的长(结果精确到0.01米)?22(本题满分16分)本题共3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.在平面直角坐标系中,对于直线:和点记若<0,则称点被直线分隔。若曲线C与直线没有公共点,且曲线C上存在点被直线分隔,则称直线为曲线C的一条分隔线.=1\*GB2\*MERGEFORMAT⑴求证:点被直线分隔;=2\*GB2\*MERGEFORMAT⑵若直线是曲线的分隔线,求实数的取值范围;=3\*GB2\*MERGEFORMAT⑶动点M到点的距离与到轴的距离之积为1,设点M的轨迹为E,求E的方程,并证明轴为曲线E的分隔线.(本题满分18分)本题共3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.已知数列满足.若,求的取值范围;zxxk若是等比数列,且,求正整数的最小值,学科网以及取最小值时相应的公比;(3)若成等差数列,求数列的公差的取值范围.上海数学(文)参考答案一、1.2.63.34.5.706.7.8.249.10.11.12.13.14.二、15.B16.D17.C18.B19.解:∵由题得,三棱锥是正三棱锥∴侧棱与底边所成角相同且底面是边长为2的正三角形∴由题得,,又∵三点恰好在构成的的三条边上∴∴∴,三棱锥是边长为2的正四面体∴如右图所示作图,设顶点在底面内的投影为,连接,并延长交于∴为中点,为的重心,底面∴,,解:(1)由题得,∴,∵且∴①当时,,∴对任意的都有,∴为偶函数②当时,,,∴对任意的且都有,∴为奇函数③当且时,定义域为,∴定义域不关于原定对称,∴为非奇非偶函数解:(1)由题得,∵,且,即,解得,,∴米由题得,,∵,∴米∵,∴米证明:(1)由题得,,∴被直线分隔。解:(2)由题得,直线与曲线无交点即无解∴或,∴证明:(理科)(3)由题得,设,∴,化简得,点的轨迹方程为。①当过原点的直线斜率存在时,设方程为。联立方程,。令,,显然是开口朝上的二次函数∴由二次函数与幂函数的图像可得,必定有解,不符合题意,舍去②当过原点的直线斜率不存在时,其方程为。显然与曲线没有交点,在曲线上找两点。∴,符合题意综上所述,仅存在一条直线是的分割线。证明:(文科)(3)由题得,设,∴,化简得,点的轨迹方程为。显然与曲线没有交点,在曲线上找两点。∴,符合题意。∴是的分割线。解:(1)由题得,(文科)(2)∵,且数列是等比数列,,∴,∴,∴。∴,∴,又∵,∴∴的最小值为8,此时,即。(3)由题得,∵,且数列数列成等差数列,,∴,∴,∴2014年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学(文科)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、填空题(本大题共14小题,共56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.(1)【2014年上海,文1,5分】函数的最小正周期是.【答案】【解析】,所以.(2)【2014年上海,文2,5分】若复数,其中i是虚数单位,则.【答案】6【解析】.(3)【2014年上海,文3,5分】设常数,函数,若,则.【答案】3【解析】,所以,所以,故.(4)【2014年上海,文4,5分】若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为.【答案】【解析】椭圆的右焦点右焦点为,故,故该抛物线的准线方程为.(5)【2014年上海,文5,5分】某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名.为了解该校高中学生的牙齿健康状况,按各年级的学生数进行分层抽样.若高三抽取20名学生,则高一、高二共需抽取的学生数为.【答案】70【解析】由分层抽样知高一、高二、高三抽取的学生数比为4:3:2,高三抽取的学生数为20,故高一、高二共需抽取的学生数为.(6)【2014年上海,文6,5分】若实数满足,则的最小值为.【答案】【解析】由基本不等式可得,故的最小值为.(7)【2014年上海,文7,5分】若圆锥的侧面积是底面积的三倍,则其母线与轴所成的角大小为.(结果用反三角函数值表示)【答案】【解析】由题意可得,,解得,记母线与轴所成的角为,则,即.(8)【2014年上海,文8,5分】在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图,则切割掉的两个小长方体的体积之和等于.【答案】24【解析】由三视图可知,被割去的两个小长方体长为2,宽为3,高为2,故切割掉的两个小长方体的体积之和为2×3×2×2=24.(9)【2014年上海,文9,5分】设,若是的最小值,则的取值范围为.【答案】【解析】,当时,,因为是的最小值,故.(10)【2014年上海,文10,5分】设无穷等比数列的公比为,若.【答案】【解析】因为无穷等比数列的极限存在,所以,又因为即,解得.(11)【2014年上海,文11,5分】若,则满足的的取值范围是.【答案】【解析】函数的定义域为,即,在同一坐标系中作出()的图象(如图),由图象可知,当时,.故满足的的取值范围是.(12)【2014年上海,文12,5分】方程在区间上的所有解的和等于.【答案】【解析】因为,所以,因为,所以,所以由可得或,解得,所以.(13)【2014年上海,文13,5分】为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是(结果用最简分数表示).【答案】【解析】记“选择的3天恰好为连续3天”的概率为P,从10天中选择3天共有种方法,从10天中选择连续的3天有8种选择方法,故.(14)【2014年上海,文14,5分】已知曲线,直线.若对于点,存在C上的点P和l上的点Q使得,则m的取值范围为.【答案】【解析】由题意可设(),又因为,所以点P、A、Q在一条直线上,且A点为线段PQ的中点.所以,,又,所以.二、选择题(本大题共有4题,满分20分)考生应在答题纸相应编号位置填涂,每题只有一个正确选项,选对得5分,否则一律得零分.(15)【2014年上海,文15,5分】设,则“”是“且”的()(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分也非必要条件【答案】B【解析】由不能推出且,如满足,但不能满足且;如果且,由不等式的性质可得;故“”是“且”的必要非充分条件,故选B.(16)【2014年上海,文16,5分】已知互异的复数满足,集合,则()(A)2(B)1(C)0(D)【答案】D【解析】(1)当时,可看作是的根,此时与矛盾,故舍去;(2)当时,可得,(*)因为,所以,所以(*)即为,即,所以,此时;①当时,,与矛盾且不满足集合的互异性,故舍去;②当时,,但此时不能满足集合的互异性,故舍去;③当时,,且满足集合的互异性,符合题意,此时;④当时,,且满足集合的互异性,符合题意,此时;综上所述,,故选D.(17)【2014年上海,文17,5分】如图,四个边长为1的小正方形排成一个大正方形,是大正方形的一条边,是小正方形的其余顶点,则的不同值的个数为()(A)7(B)5(C)3(D)1【答案】C【解析】如图,以点A为原点,建立坐标系,则,故,通过计算可得的值有0,2,4,共3个,故选C.(18)【2014年上海,文18,5分】已知与是直线(为常数)上两个不同的点,则关于和的方程组的解的情况是()(A)无论如何,总是有解(B)无论如何,总有唯一解(C)存在,使之恰有两解(D)存在,使之有无穷多解【答案】B【解析】解法一:由已知得,代入得解得,即直线与恒交于点(为常数),故选B.解法二:由已知条件,,,∴有唯一解,故选B.三、解答题(本题共5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.(19)【2014年上海,文19,12分】底面边长为的正三棱锥,其表面展开图是三角形,如图.求的各边长及此三棱锥的体积.解:根据题意可得共线,∵,,∴,∴,同理,∴是等边三角形,是正四面体,所以边长为4;∴.(20)【2014年上海,文20,14分】设常数,函数.(1)若,求函数的反函数;(2)根据的不同取值,讨论函数的奇偶性,并说明理由.解:(1)∵,∴,∴,∴,∴,.……6分(2)当时,,定义域为,故函数是偶函数;当时,定义域为,,故函数是奇函数;当时,关于原点不对称,故函数既不是奇函数,也不是偶函数.……14分(21)【2014年上海,文21,14分】如图,某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌,其中为顶端,长米,长米.设点在同一水平面上,从和看的仰角分别为和.(1)设计中是铅垂方向.若要
2014年上海高考数学真题(文科)试卷(word解析版)
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