2015年上海高考数学真题(文科)试卷(word解析版)

2023-10-27 · U3 上传 · 18页 · 1.8 M

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学试卷(文史类)(满分150分,考试时间120分钟)考生注意1.本场考试时间120分钟,试卷共4页,满分150分,答题纸共2页.2.作答前,在答题纸正面填写姓名、准考证号,反面填写姓名,将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域,不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题,用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一.填空题(本大题共14小题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律零分)1.函数的最小正周期为.2.设全集.若集合,,则.3.若复数满足,其中是虚数单位,则.4.设为的反函数,则.5.若线性方程组的增广矩阵为解为,则.6.若正三棱柱的所有棱长均为,且其体积为,则.7.抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为1,则.8.方程的解为.9.若满足,则目标函数的最大值为.10.在报名的3名男教师和6名女教师中,选取5人参加义务献血,要求男、女教师都有,则不同的选取方式的种数为(结果用数值表示).11.在的二项式中,常数项等于(结果用数值表示).12.已知双曲线、的顶点重合,的方程为,若的一条渐近线的斜率是的一条渐近线的斜率的2倍,则的方程为.13.已知平面向量、、满足,且,则的最大值是.14.已知函数.若存在,,,满足,且,则的最小值为.二.选择题(本大题共4小题,满分20分)每题有且只有一个正确答案案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律零分.15.设、,则“、均为实数”是“是实数”的().A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件16.下列不等式中,与不等式解集相同的是().A.B.C.D.17.已知点的坐标为,将绕坐标原点逆时针旋转至,则点的纵坐标为().A.B.C.D.18.设是直线与圆在第一象限的交点,则极限().A.B.C.D.三.解答题(本大题共5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分)如图,圆锥的顶点为,底面的一条直径为,为半圆弧的中点,为劣弧的中点.已知,,求三棱锥的体积,并求异面直线与所成角的大小.(本题满分14分)本题共2小题,第1小题6分,第2小题8分.已知函数,其中为实数.(1)根据的不同取值,判断函数的奇偶性,并说明理由;(2)若,判断函数在上的单调性,并说明理由.21.(本小题14分)本题共2小题,第1小题6分,第2小题8分.如图,三地有直道相通,千米,千米,千米.现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地,经过小时,他们之间的距离为(单位:千米).甲的路线是,速度为5千米/小时,乙的路线是,速度为8千米/小时.乙到达地后原地等待.设时乙到达地;时,乙到达地.(1)求与的值;(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当时,求的表达式,并判断在上得最大值是否超过3?说明理由.22.(本题满分14分)本题共3个小题,第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分.[ZXXK]已知椭圆,过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、,设的面积为.(1)设,,用、的坐标表示点到直线的距离,并证明;(2)设,,,求的值;(3)设与的斜率之积为,求的值,使得无论与如何变动,面积保持不变.23.(本题满分16分)本题共3小题.第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分.已知数列与满足,.(1)若,且,求数列的通项公式;(2)设的第项是最大项,即,求证:数列的第项是最大项;(3)设,,求的取值范围,使得对任意,,,且. 2015年上海市文科试题一.填空题(本大题共14小题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律零分)1.函数的最小正周期为.【答案】【解析】因为,所以,所以函数的最小正周期为.【考点定位】函数的周期,二倍角的余弦公式.2.设全集.若集合,,则.【答案】【考点定位】集合的运算.3.若复数满足,其中是虚数单位,则.[【答案】【考点定位】复数的概念,复数的运算.4.设为的反函数,则.【答案】【解析】因为为的反函数,,解得,所以.【考点定位】反函数,函数的值.5.若线性方程组的增广矩阵为解为,则.【答案】16【解析】由题意,是方程组的解,所以,所以.【考点定位】增广矩阵,线性方程组的解法.6.若正三棱柱的所有棱长均为,且其体积为,则.【答案】4【解析】依题意,,解得.【考点定位】等边三角形的性质,正三棱柱的性质.7.抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为1,则.【答案】2【解析】依题意,点为坐标原点,所以,即.【考点定位】抛物线的性质,最值.8.方程的解为.【答案】2【考点定位】对数方程.9.若满足,则目标函数的最大值为.【答案】3【考点定位】不等式组表示的平面区域,简单的线性规划.10.在报名的3名男教师和6名女教师中,选取5人参加义务献血,要求男、女教师都有,则不同的选取方式的种数为(结果用数值表示).【答案】120【考点定位】组合,分类计数原理.11.在的二项式中,常数项等于(结果用数值表示).【答案】240【解析】由,令,所以,所以常数项为.【考点定位】二项式定理.[12.已知双曲线、的顶点重合,的方程为,若的一条渐近线的斜率是的一条渐近线的斜率的2倍,则的方程为.【答案】【考点定位】双曲线的性质,直线的斜率.13.已知平面向量、、满足,且,则的最大值是.【答案】【考点定位】平向量的模,向量垂直.14.已知函数.若存在,,,满足,且,则的最小值为.【答案】8【解析】因为函数对任意,,,欲使取得最小值,尽可能多的让取得最高点,考虑,按下图取值满足条件,所以的最小值为8.【考点定位】正弦函数的性质,最值.二.选择题(本大题共4小题,满分20分)每题有且只有一个正确答案案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律零分.15.设、,则“、均为实数”是“是实数”的().A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【考点定位】复数的概念,充分条件、必要条件的判定.16.下列不等式中,与不等式解集相同的是().A.B.C.D.【答案】B【解析】因为,可能是正数、负数或零,所以由可得,所以不等式解集相同的是,选B.【考点定位】同解不等式的判断.17.已知点的坐标为,将绕坐标原点逆时针旋转至,则点的纵坐标为().A.B.C.D.【答案】D【考点定位】三角函数的定义,和角的正切公式,两点间距离公式.18.设是直线与圆在第一象限的交点,则极限().A.B.C.D.【答案】A【解析】因为是直线与圆在第一象限的交点,而是经过点与的直线的斜率,由于点在圆上.[网ZXXK]因为,所以.【考点定位】圆的切线,极限.三.解答题(本大题共5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分)如图,圆锥的顶点为,底面的一条直径为,为半圆弧的中点,为劣弧的中点.已知,,求三棱锥的体积,并求异面直线与所成角的大小.【答案】【考点定位】圆锥的性质,异面直线的夹角.(本题满分14分)本题共2小题,第1小题6分,第2小题8分.已知函数,其中为实数.(1)根据的不同取值,判断函数的奇偶性,并说明理由;(2)若,判断函数在上的单调性,并说明理由.【答案】(1)是非奇非偶函数;(2)函数在上单调递增.【考点定位】函数的奇偶性、单调性.21.(本小题14分)本题共2小题,第1小题6分,第2小题8分.如图,三地有直道相通,千米,千米,千米.现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地,经过小时,他们之间的距离为(单位:千米).甲的路线是,速度为5千米/小时,乙的路线是,速度为8千米/小时.乙到达地后原地等待.设时乙到达地;时,乙到达地.(1)求与的值;(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当时,求的表达式,并判断在上得最大值是否超过3?说明理由.【答案】(1),千米;(2)不超过了3千米.【解析】(1)根据条件知,设此时甲到达A点,并连接,如图所示,则,所以在中,由余弦定理得(千米).(2)可求得,设小时后,且,甲到达了B点,乙到达了C点,如图所示,所以,,所以在中,由余弦定理,所以,,设,,因为函数的对称轴为,且,,所以得最大值为,此时的最大值为,所以在上得最大值不超过3.【考点定位】余弦定理的实际运用,函数的值域.22.(本题满分14分)本题共3个小题,第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分.已知椭圆,过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、,设的面积为.(1)设,,用、的坐标表示点到直线的距离,并证明;(2)设,,,求的值;(3)设与的斜率之积为,求的值,使得无论与如何变动,面积保持不变.【答案】(1)详见解析;(2)或;(3).(3)设,则,设,,由,的,同理,由(1)知,[,整理得,由题意知与无关,则,解得.所以.【考点定位】椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系.23.(本题满分16分)本题共3小题.第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分.已知数列与满足,.(1)若,且,求数列的通项公式;(2)设的第项是最大项,即,求证:数列的第项是最大项;(3)设,,求的取值范围,使得对任意,,,且.【答案】(1);(2)详见解析;(3).【解析】(1)因为,,所以,所以是等差数列,首项为,公差为6,即.(2)由,得,所以为常数列,,即,因为,,所以,即,所以的第项是最大项.【考点定位】数列的递推公式,等差数列的性质,常数列,数列的最大项,指数函数的单调性.

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