2014年高考文科数学陕西卷试题与答案

2023-10-27 · U3 上传 · 12页 · 1.5 M

2014年高考陕西文科数学陕西卷一、在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求(本大题共10分,每小题5分,共50分).1.设集合,,则()2.函数的最小正周期是()输入N是开始输出结束否3.已知复数,则的值为() 4.根据右边框图,对大于的正整数,输出的数列的通项公式是()5.将边长为的正方形以其一边所在直线旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是()6.从正方形四个顶点及其中心这个点中任取个点,则这个点的距离小于正方形的边长的概率为()7.下列函数中,满足“”的单调递增函数是()8.原命题为“若,则是递减数列”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是()真,真,真假,假,真真,真,假假,假,假9.某公司位员工的月工资(单位:元)为,其均值和方差分别为和,若从下月起每位员工的工资增加元,则这为位员工下月工资的均值和方差分别为()10如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为()二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题,共25分)11.抛物线的准线方程为.12.已知,,则.13.设,向量,,若,则.14.已知,,若,,,则的表达式为.15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按做作的第一题评分)A.(不等式选做题)设,且,,则的最小值为.B.(几何证明选做题)如图,中,,以为直径的半圆交于点,若,则.C.(极坐标与参数方程选做题)在极坐标系中,点到直线的距离是.三、解答题:解答题应写出文字说明,证明过程和演算步骤(本大题共6小题,共75分).16.(本小题满分12分)的内角所对底边分别是.(Ⅰ)若成等差数列,证明:;(Ⅱ)若成等比数列,且,求的值.17.(本小题满分12分)左视图四面体及其三视图如图所示,平行于棱,的平面分别交四面体的棱于点.(Ⅰ)求四面体的体积;主视图(Ⅱ)证明:四边形是矩形.俯视图18.(本小题满分12分)在直角坐标系中,已知点,,,点在三边围成的区域(含边界)上,且,.(Ⅰ)若,求;(Ⅱ)用表示,并求的最大值.19.(本小题满分12分)某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:赔付金额(元)01000200030004000车辆数(辆)500130100150120(Ⅰ)若每辆车的赔付金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;(Ⅱ)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率.20.(本小题满分13分)已知椭圆经过点,离心率为,左右焦点分别为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若直线与椭圆交于了两点,与以,为直径的圆交于两点,且满足,求直线的方程.21.(本小题满分14分)设函数.(Ⅰ)当(为自然对数的底数)时,求的极小值;(Ⅱ)讨论函数零点的个数;(Ⅲ)若对任意,恒成立,求取值范围.第一部分(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)【2014年陕西,文1,5分】已知集合,,则()(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】,,,故选D.【点评】本题考查交的运算,理解好交的定义是解答的关键.(2)【2014年陕西,文2,5分】函数的最小正周期是()(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】根据复合三角函数的周期公式得,,故选B.【点评】本题考查了三角函数的周期性,以及复合三角函数的周期公式应用,属于基础题.(3)【2014年陕西,文3,5分】已知复数,则的值为()(A)5(B)(C)3(D)【答案】A【解析】由,得,故选A.【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算,是基础的计算题.(4)【2014年陕西,文4,5分】根据右边框图,对大于2的整数,求出的数列的通项公式是()(A)(B)(C)(D)【答案】C【解析】,,,是,的等比数列,故选C.【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键.(5)【2014年陕西,文5,5分】将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积为()(A)(B)(C)(D)【答案】C【解析】边长为1的正方形,绕其一边所在直线旋转一周,得到的几何体为圆柱,则所得几何体的侧面积为:,故选C.【点评】本题是基础题,考查旋转体的侧面积的求法,考查计算能力.(6)【2014年陕西,文6,5分】从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点,则这两个点的距离小于该正方形边长的概率为()(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】设正方形边长为1,则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点,共有10条线段,4条长度为1,4条长度为,两条长度为,∴所求概率为,故选B.【点评】本题考查概率的计算,列举基本事件是关键.(7)【2014年陕西,文7,5分】下列函数中,满足“”的单调递增函数是()(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】对于A:,,,不满足,故A错;对于B:,,,满足,且在上是单调增函数,故B正确,对于C:,,,不满足,故C错;对于D:,,,满足,但在上是单调减函数,故D错.故选B.【点评】本题主要考查抽象函数的具体模型,同时考查幂函数和指数函数的单调性,是一道基础题.(8)【2014年陕西,文8,5分】原命题为“若,,则为递减数列”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是()(A)真,假,真(B)假,假,真(C)真,真,假(D)假,假,假【答案】A【解析】,,为递减数列,命题是真命题;其否命题是:若,,则不是递减数列,是真命题;又命题与其逆否命题同真同假,命题的否命题与逆命题是互为逆否命题,∴命题的逆命题,逆否命题都是真命题,故选A.【点评】本题考查了四种命题的定义及真假关系,判断命题的真假及熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键.(9)【2014年陕西,文9,5分】某公司位员工的月工资(单位:元)为,,…,,其均值和方差分别为和,若从下月起每位员工的月工资增加元,则这位员工下月工资的均值和方差分别为()(A),(B),(C),(D),【答案】D【解析】由题意知,则,方差,故选D.【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系,利用均值和方差的定义是解决本题的关键,要求熟练掌握相应的计算公式.(10)【2014年陕西,文10,5分】如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续(相切),已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为()(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】由函数图象知,此三次函数在上处与直线相切,在点处与相切,以下研究四个选项中函数在两点处的切线.A选项:,将0,2代入,解得此时切线的斜率分别是,3,符合题意,故A对;B选项,,将0代入,此时导数为,不为,故B错;C选项,,将2代入,此时导数为,与点处切线斜率为3矛盾,故C错;D选项,,将0代入,此时导数为,与点处切线斜率为矛盾,故D错,故选A.【点评】本题考查导数的几何意义在实际问题中的应用,导数的几何意义是导数主要应用之一.第二部分(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.(11)【2014年陕西,文11,5分】抛物线的准线方程为______.【答案】【解析】∵,∴,开口向右,∴准线方程是.【点评】根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程,一定要先化为标准形式,求出的值,再确定开口方向,否则,极易出现错误.(12)【2014年陕西卷理科第12,5分】已知,,则______.【答案】【解析】由,得,再由,得.【点评】本题考查了指数式与对数式的互化,考查了对数的运算性质,是基础题.(13)【2014年陕西,文13,5分】设,向量,若,则_______.【答案】【解析】,,,∴.【点评】本题考查了向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式,属于基础题.(14)【2014年陕西,文14,5分】已知,若,则的表达式为_______.【答案】【解析】由题意知:,,,,故.【点评】本题考查逻辑推理中归纳推理,由特殊到一般进行归纳得出结论是此类推理方法的重要特征.考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分.(15A)【2014年陕西,文15A,5分】(不等式选做题)设且则的最小值为_______.【答案】【解析】由柯西不等式得,,∵,,∴,∴的最小值为.【点评】本题主要考查了柯西不等式,属于中档题.(15B)【2014年陕西,文15B,5分】(几何证明选做题)如图,中,,以为直径的半圆分别交于点,若,则_______.【答案】3【解析】由题意,∵以为直径的半圆分别交、于点、,∴,∵,∴,∴,∵,,∴.【点评】本题考查三角形相似的判定与运用,考查学生的计算能力,属于基础题.(15C)【2014年陕西,文15C,5分】(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点到直线的距离是_______.【答案】1【解析】根据极坐标和直角坐标的互化公式,,可得点即;直线,即,即,故点到直线的距离为.【点评】本题主要考查把极坐标化为直角坐标的方法,点到直线的距离公式的应用,属于基础题.三、解答题:本大题共6小题,共70分,应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(16)【2014年陕西,文16,12分】的内角所对的边分别为.(1)若成等差数列,证明;(2)若成等比数列,且,求的最小值.解:(1)∵成等差数列,∴,利用正弦定理化简得:,∵,∴.(2)∵成等比数列,∴,将代入得:,即,由余弦定理得:.【点评】此题考查了余弦定理,等差、等比数列的性质,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.(17)【2014年陕西,文17,12分】四面体及其三视图如图所示,平行于棱的平面分别交四面体的棱于点.(1)求四面体的体积;(2)证明:四边形是矩形.解:(1)由题意,,,,,,平面,四面体的体积.(2)平面,平面平面,平面平面=,,,.同理,,,四边形是平行四边形,平面,,,四边形是矩形.【点评】本题考查线面垂直,考查线面平行性质的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.(18)【2014年陕西,文18,12分】在直角坐标系中,已知点.点在三边围成的区域(含边界)上,且.(1)若,求;(2)用表示,并求的最大值.解:(1)∵,,,又,,∴.(2)∵,∴,∴,,∴,令,由图知,当直线过点时,取得最大值1,故的最大值为1.【点评】本题考查了平面向量的数乘及坐标加法运算,考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.(19)【2014年陕西,文19,12分】某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:赔付金额(元)01000200030004000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率.解:(1)设表示事件“赔付金额为3000元,”B表示事件“赔付金额为4000元”,以频率估计概率得:,,由于投保额为2800元,赔付金额大于投保金额得情形是3000元和4000元,所以其概率为.(2)设表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”,由已知,样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100,而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120=24,所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为,由频率估计概率得.【点评】本题主要考查了用频率来表示概率,属于中档题.(20)【2014年陕西,文20,13分】已知椭圆,经过点,离心率为,左右焦点分别为,.(1)求椭圆的方程;(

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