2014年高考文科数学陕西卷试题与答案

2014年高考陕西文科数学陕西卷一、在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求（本大题共10分，每小题5分，共50分）.1.设集合，，则（）2.函数的最小正周期是（）输入N是开始输出结束否3.已知复数，则的值为（） 4.根据右边框图，对大于的正整数，输出的数列的通项公式是（）5.将边长为的正方形以其一边所在直线旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（）6.从正方形四个顶点及其中心这个点中任取个点，则这个点的距离小于正方形的边长的概率为（）7.下列函数中，满足“”的单调递增函数是（）8.原命题为“若，则是递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）真，真，真假，假，真真，真，假假，假，假9.某公司位员工的月工资（单位：元）为，其均值和方差分别为和，若从下月起每位员工的工资增加元，则这为位员工下月工资的均值和方差分别为()10如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）.已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（）二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，共25分）11.抛物线的准线方程为.12.已知，，则.13.设，向量，，若，则.14.已知，，若，，，则的表达式为.15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按做作的第一题评分）A.（不等式选做题）设，且，，则的最小值为.B.（几何证明选做题）如图，中，，以为直径的半圆交于点，若，则.C.（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，点到直线的距离是.三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程和演算步骤（本大题共6小题，共75分）.16.（本小题满分12分）的内角所对底边分别是.（Ⅰ）若成等差数列，证明：；（Ⅱ）若成等比数列，且，求的值.17.（本小题满分12分）左视图四面体及其三视图如图所示，平行于棱，的平面分别交四面体的棱于点.（Ⅰ）求四面体的体积；主视图（Ⅱ）证明：四边形是矩形.俯视图18.（本小题满分12分）在直角坐标系中，已知点，，，点在三边围成的区域（含边界）上，且，.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）用表示，并求的最大值.19.（本小题满分12分）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额（元）01000200030004000车辆数（辆）500130100150120（Ⅰ）若每辆车的赔付金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；（Ⅱ）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率.20.（本小题满分13分）已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线与椭圆交于了两点，与以，为直径的圆交于两点，且满足，求直线的方程.21.（本小题满分14分）设函数.（Ⅰ）当（为自然对数的底数）时，求的极小值；（Ⅱ）讨论函数零点的个数；（Ⅲ）若对任意，恒成立，求取值范围.第一部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2014年陕西，文1，5分】已知集合，，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】，，，故选D．【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．（2）【2014年陕西，文2，5分】函数的最小正周期是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】根据复合三角函数的周期公式得，，故选B．【点评】本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题．（3）【2014年陕西，文3，5分】已知复数，则的值为（）（A）5（B）（C）3（D）【答案】A【解析】由，得，故选A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，是基础的计算题．（4）【2014年陕西，文4，5分】根据右边框图，对大于2的整数，求出的数列的通项公式是（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】，，，是，的等比数列，故选C．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键．（5）【2014年陕西，文5，5分】将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：，故选C．【点评】本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力．（6）【2014年陕西，文6，5分】从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这两个点的距离小于该正方形边长的概率为（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，∴所求概率为，故选B．【点评】本题考查概率的计算，列举基本事件是关键．（7）【2014年陕西，文7，5分】下列函数中，满足“”的单调递增函数是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】对于A：，，，不满足，故A错；对于B：，，，满足，且在上是单调增函数，故B正确，对于C：，，，不满足，故C错；对于D：，，，满足，但在上是单调减函数，故D错．故选B．【点评】本题主要考查抽象函数的具体模型，同时考查幂函数和指数函数的单调性，是一道基础题．（8）【2014年陕西，文8，5分】原命题为“若，，则为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）（A）真，假，真（B）假，假，真（C）真，真，假（D）假，假，假【答案】A【解析】，，为递减数列，命题是真命题；其否命题是：若，，则不是递减数列，是真命题；又命题与其逆否命题同真同假，命题的否命题与逆命题是互为逆否命题，∴命题的逆命题，逆否命题都是真命题，故选A．【点评】本题考查了四种命题的定义及真假关系，判断命题的真假及熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键．（9）【2014年陕西，文9，5分】某公司位员工的月工资（单位：元）为，，…，，其均值和方差分别为和，若从下月起每位员工的月工资增加元，则这位员工下月工资的均值和方差分别为（）（A），（B），（C），（D），【答案】D【解析】由题意知，则，方差，故选D．【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，利用均值和方差的定义是解决本题的关键，要求熟练掌握相应的计算公式．（10）【2014年陕西，文10，5分】如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】由函数图象知，此三次函数在上处与直线相切，在点处与相切，以下研究四个选项中函数在两点处的切线．A选项：，将0，2代入，解得此时切线的斜率分别是，3，符合题意，故A对；B选项，，将0代入，此时导数为，不为，故B错；C选项，，将2代入，此时导数为，与点处切线斜率为3矛盾，故C错；D选项，，将0代入，此时导数为，与点处切线斜率为矛盾，故D错，故选A．【点评】本题考查导数的几何意义在实际问题中的应用，导数的几何意义是导数主要应用之一．第二部分（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．（11）【2014年陕西，文11，5分】抛物线的准线方程为______．【答案】【解析】∵，∴，开口向右，∴准线方程是．【点评】根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化为标准形式，求出的值，再确定开口方向，否则，极易出现错误．（12）【2014年陕西卷理科第12，5分】已知，，则______．【答案】【解析】由，得，再由，得．【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．（13）【2014年陕西，文13，5分】设，向量，若，则_______．【答案】【解析】，，，∴．【点评】本题考查了向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式，属于基础题．（14）【2014年陕西，文14，5分】已知，若，则的表达式为_______．【答案】【解析】由题意知：，，，，故．【点评】本题考查逻辑推理中归纳推理，由特殊到一般进行归纳得出结论是此类推理方法的重要特征．考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分．（15A）【2014年陕西，文15A，5分】（不等式选做题）设且则的最小值为_______．【答案】【解析】由柯西不等式得，，∵，，∴，∴的最小值为．【点评】本题主要考查了柯西不等式，属于中档题．（15B）【2014年陕西，文15B，5分】（几何证明选做题）如图，中，，以为直径的半圆分别交于点，若，则_______．【答案】3【解析】由题意，∵以为直径的半圆分别交、于点、，∴，∵，∴，∴，∵，，∴．【点评】本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题．（15C）【2014年陕西，文15C，5分】（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点到直线的距离是_______．【答案】1【解析】根据极坐标和直角坐标的互化公式，，可得点即；直线，即，即，故点到直线的距离为．【点评】本题主要考查把极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共70分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（16）【2014年陕西，文16，12分】的内角所对的边分别为．（1）若成等差数列，证明；（2）若成等比数列，且，求的最小值．解：（1）∵成等差数列，∴，利用正弦定理化简得：，∵，∴．（2）∵成等比数列，∴，将代入得：，即，由余弦定理得：．【点评】此题考查了余弦定理，等差、等比数列的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．（17）【2014年陕西，文17，12分】四面体及其三视图如图所示，平行于棱的平面分别交四面体的棱于点．（1）求四面体的体积；（2）证明：四边形是矩形．解：（1）由题意，，，，，，平面，四面体的体积．（2）平面，平面平面，平面平面=，，，．同理，，，四边形是平行四边形，平面，，，四边形是矩形．【点评】本题考查线面垂直，考查线面平行性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．（18）【2014年陕西，文18，12分】在直角坐标系中，已知点．点在三边围成的区域（含边界）上，且．（1）若，求；（2）用表示，并求的最大值．解：（1）∵，，，又，，∴．（2）∵，∴，∴，，∴，令，由图知，当直线过点时，取得最大值1，故的最大值为1．【点评】本题考查了平面向量的数乘及坐标加法运算，考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．（19）【2014年陕西，文19，12分】某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额（元）01000200030004000车辆数（辆）500130100150120（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．解：（1）设表示事件“赔付金额为3000元，”B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得：，，由于投保额为2800元，赔付金额大于投保金额得情形是3000元和4000元，所以其概率为．（2）设表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100，而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120=24，所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为，由频率估计概率得．【点评】本题主要考查了用频率来表示概率，属于中档题．（20）【2014年陕西，文20，13分】已知椭圆，经过点，离心率为，左右焦点分别为，．（1）求椭圆的方程；（