2013年高考文科数学陕西卷试题与答案

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(陕西卷)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．1．(2013陕西，文1)设全集为R，函数f(x)＝的定义域为M，则RM为( )．A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1]D．[1，＋∞)2．(2013陕西，文2)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于( )．A．B．C．或D．03．(2013陕西，文3)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )．A．logab·logcb＝logcaB．logab·logca＝logcbC．loga(bc)＝logab·logacD．loga(b＋c)＝logab＋logac4．(2013陕西，文4)根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为( )．A．25B．30C．31D．615．(2013陕西，文5)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )．A．0.09B．0.20C．0.25D．0.456．(2013陕西，文6)设z是复数，则下列命题中的假命题是( )．A．若z2≥0，则z是实数B．若z2＜0，则z是虚数C．若z是虚数，则z2≥0D．若z是纯虚数，则z2＜07．(2013陕西，文7)若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值是( )．A．－6B．－2C．0D．28．(2013陕西，文8)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )．A．相切B．相交C．相离D．不确定9．(2013陕西，文9)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为( )．A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定10．(2013陕西，文10)设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，有( )．A．[－x]＝－[x]B．C．[2x]＝2[x]D．[x]＋＝[2x]二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．11．(2013陕西，文11)双曲线的离心率为__________．12．(2013陕西，文12)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为__________．13．(2013陕西，文13)观察下列等式(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5……照此规律，第n个等式可为_______________________________．14．(2013陕西，文14)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为__________(m)．15．(2013陕西，文15)(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A．(不等式选做题)设a，b∈R，|a－b|＞2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|＞2的解集是__________．B．(几何证明选做题)如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝__________.C．(坐标系与参数方程选做题)圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．16．(2013陕西，文16)(本小题满分12分)已知向量a＝，b＝(sinx，cos2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在上的最大值和最小值．17．(2013陕西，文17)(本小题满分12分)设Sn表示数列{an}的前n项和．(1)若{an}是等差数列，推导Sn的计算公式；(2)若a1＝1，q≠0，且对所有正整数n，有.判断{an}是否为等比数列，并证明你的结论．18．(2013陕西，文18)(本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．19．(2013陕西，文19)(本小题满分12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别ABCDE人数5010015015050(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表.组别ABCDE人数5010015015050抽取人数6(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．20．(2013陕西，文20)(本小题满分13分)已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍．(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率．21．(2013陕西，文21)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ex，x∈R.(1)求f(x)的反函数的图像上点(1,0)处的切线方程；(2)证明：曲线y＝f(x)与曲线y＝x2＋x＋1有唯一公共点；(3)设a＜b，比较与的大小，并说明理由．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(陕西卷)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．1．答案：B解析：要使f(x)＝有意义，则须1－x≥0，即x≤1，所以M＝{x|x≤1}，RM＝{x|x＞1}．2．答案：C解析：由a∥b知1×2－m2＝0，即或.3．答案：B解析：由换底公式得logab·logca＝＝logcb，所以B正确．4．答案：C解析：因为x＝60＞50，所以y＝25＋0.6(60－50)＝31，故选C．5．答案：D解析：由频率分布直方图知识可知：在区间[15,20)和[25,30)上的概率为0.04×5＋[1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)×5]＝0.45.6．答案：C解析：由复数的基本知识可知：z2能与0比较大小且z2≥0，则z为实数，所以A正确；同理，z2＜0，则z是纯虚数，所以B正确；反过来，z是纯虚数，z2＜0，D正确；对于选项C，不妨取z＝1＋i，则z2＝2i不能与0比较大小．7．答案：A解析：设z＝2x－y，可行域如图：当直线y＝2x－z过点A时，截距－z最大，即z最小，所以最优解为(－2,2)，zmin＝2×(－2)－2＝－6.8．答案：B解析：∵点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外，∴点M(a，b)到圆心(0,0)的距离要大于半径，即a2＋b2＞1，而圆心(0,0)到直线ax＋by＝1的距离为d＝＜1，∴直线与圆相交．9．答案：A解析：∵，∴sinBcosC＋sinCcosB＝sinAsinA，即sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝1，∴，故选A．10答案：D解析：令x＝1.1，[－1.1]＝－2，而－[1.1]＝－1，所以A错；令，，，所以B错；令x＝0.5，[2x]＝1,2[x]＝0，所以C错；故选D．二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．11．答案：解析：在双曲线中，a＝4，b＝3，则c＝＝5，∴.12．答案：3π解析：由三视图可知该几何体为半径为1的球体的一半，所以表面积为×4π×12＋π×12＝3π.13．答案：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)解析：观察规律，等号左侧为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，等号右侧分两部分，一部分是2n，另一部分是1×3×…×(2n－1)．14．答案：20解析：设DE＝x，MN＝y，由三角形相似得：，即，即x＋y＝40，由均值不等式可知x＋y＝40≥，S＝x·y≤400，当x＝y＝20时取等号，所以当宽为20时面积最大．15．答案：(－∞，＋∞)解析：由不等式性质知：|x－a|＋|x－b|≥|(x－a)－(x－b)|＝|b－a|＝|a－b|＞2，所以|x－a|＋|x－b|＞2的解集为全体实数．B．答案：解析：∵PE∥BC，∴∠C＝∠PED．又∠C＝∠A，故∠A＝∠PED．又∠P＝∠P，故△PED∽△PAE，则，∴PE2＝PA·PD．又PD＝2DA＝2，∴PA＝PD＋DA＝3，∴PE2＝3×2＝6，∴PE＝.C．答案：(1,0)解析：由消去t得，y2＝4x，故曲线表示为焦点(1,0)的抛物线．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．16．解：f(x)＝·(sinx，cos2x)＝cosxsinx－cos2x＝sin2x－cos2x＝＝.(1)f(x)的最小正周期为，即函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵0≤x≤，∴.由正弦函数的性质，当，即时，f(x)取得最大值1.当，即x＝0时，f(0)＝，当，即时，，∴f(x)的最小值为.因此，f(x)在上最大值是1，最小值是.17．解：(1)解法一：设{an}的公差为d，则Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋(a1＋d)＋…＋[a1＋(n－1)d]，又Sn＝an＋(an－d)＋…＋[an－(n－1)d]，∴2Sn＝n(a1＋an)，∴.解法二：设{an}的公差为d，则Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋(a1＋d)＋…＋[a1＋(n－1)d]，又Sn＝an＋an－1＋…＋a1＝[a1＋(n－1)d]＋[a1＋(n－2)d]＋…＋a1，∴2Sn＝[2a1＋(n－1)d]＋[2a1＋(n－1)d]＋…＋[2a1＋(n－1)d]＝2na1＋n(n－1)d，∴Sn＝na1＋d.(2){an}是等比数列，证明如下：∵，∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝.∵a1＝1，q≠0，∴当n≥1时，有，因此，{an}是首项为1且公比为q的等比数列．18．解：(1)由题设知，BB1DD1，∴BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1.又BD平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.∵A1D1B1C1BC，∴A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C．又A1B平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1.又∵BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.(2)∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高．又∵AO＝AC＝1，AA1＝，∴A1O＝＝1.又∵S△ABD＝＝1，∴＝S△ABD×A1O＝1.19．解：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：组别ABCDE人数5010015015050抽取人数36993(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率.20．(1)解：设M到直线l的距离为d，根据题意，d＝2|MN|.由此得，化简得，所以，动点M的轨迹方程为.(2)解法一：由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)．将y＝kx＋3代入中，有(3＋