2015年陕西高考理科数学试题及答案

2023-10-27 · U3 上传 · 20页 · 697.6 K

2015年高考陕西理科数学真题一、选择题1.设集合,,则()A. B. C. D.2.某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为()A.167 B.137 C.123 D.933.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5 B.6 C.8 D.104.二项式的展开式中的系数为15,则()A.4 B.5 C.6 D.75.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A. B. C. D.6.“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要7.对任意向量,下列关系式中不恒成立的是()A. B.C. D.8.根据下边的图,当输入x为2006时,输出的()A.28 B.10 C.4 D.29.设,若,,,则下列关系式中正确的是()A. B. C. D.10.某企业生产甲乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示,如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为()A.12万元 B.16万元 C.17万元 D.18万元11.设复数,若,则的概率()A. B. C. D.12.对二次函数(a为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是()A.-1是的零点 B.1是的极值点C.3是的极值 D.点在曲线上二、填空题13.中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为14.若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点,则p=15.设曲线在点(0,1)处的切线与曲线上点p处的切线垂直,则p的坐标为16.如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为三、解答题17.的内角,,所对的边分别为,,.向量与平行.求;若,求的面积.18.如图,在直角梯形中,,,,,是的中点,是与的交点.将沿折起到的位置,如图.证明:平面;若平面平面,求平面与平面夹角的余弦值.19.设某校新、老校区之间开车单程所需时间为,只与道路畅通状况有关,对其容量为的样本进行统计,结果如下:求的分布列与数学期望;刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.20.已知椭圆()的半焦距为,原点到经过两点,的直线的距离为.求椭圆的离心率;如图,是圆的一条直径,若椭圆经过,两点,求椭圆的方程.21.设是等比数列,,,,的各项和,其中,,.证明:函数在内有且仅有一个零点(记为),且;设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为,比较与的大小,并加以证明.22.如图,切于点,直线交于,两点,,垂足为.证明:;若,,求的直径.23.在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,的极坐标方程为.写出的直角坐标方程;为直线上一动点,当到圆心的距离最小时,求的直角坐标.2015年高考陕西省理科数学真题答案一、选择题1.答案:A解析过程:由所以,选A2.答案:B解析过程:由图可知该校女教师的人数为,选B3.答案:C解析过程:试题分析:由图像得,当时,求得,当时,,选C4.答案:B解析过程:二项式的展开式的通项是,令得的系数是,因为的系数为,所以,即,解得:或,因为,所以,选C5.答案:D解析过程:试题分析:由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半,所以该几何体的表面积为,选6.答案:A解析过程:所以,选A7.答案:B解析过程:因为,所以选项A正确;当与方向相反时,不成立,所以选项B错误;向量的平方等于向量的模的平方,所以选项C正确;所以选项D正确,选B8.答案:C解析过程:初始条件:;第1次运行:;第2次运行:;第3次运行:;;第1003次运行:;第1004次运行:.不满足条件,停止运行,所以输出的,故选 B.9.答案:B解析过程:,,函数在上单调递增,因为,所以,所以,故选C10.答案:D解析过程:设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨,则利润由题意可列,其表示如图阴影部分区域:当直线过点时,取得最大值,所以,故选D11.答案:D解析过程:如图可求得,,阴影面积等于若,则的概率是,故选B.12.答案:A解析过程:假设选项A错误,则选项B、C、D正确,,因为1是的极值点,3是的极值,所以,,解得,因为点在曲线上,所以,解得:,所以,,所以因为,所以不是的零点,所以假设成立,选A二、填空题13.答案:5解析过程:设数列的首项为,则,所以,故该数列的首项为14.答案:解析过程:抛物线的准线方程是,双曲线的一个焦点,因为抛物线的准线经过双曲线的一个焦点,所以,解得15.答案:(1,1)解析过程:因为,所以,所以曲线在点处的切线的斜率,设的坐标为(),则,因为,所以,所以曲线在点处的切线的斜率,因为,所以,即,解得,因为,所以,所以,即的坐标是16.答案:1.2解析过程:建立空间直角坐标系,如图所示:原始的最大流量是,设抛物线的方程为(),因为该抛物线过点,所以,解得,所以,即,所以当前最大流量是,故原始的最大流量与当前最大流量的比值是三、解答题17.答案:(I);(II).解析过程:(I)因为,所以,由正弦定理,得又,从而,由于,所以(II)解法一:由余弦定理,得而得,即因为,所以.故ABC的面积为解法二:由正弦定理得,从而,又由,知,所以故所以的面积为18.答案:(I)证明见解析;(II)解析过程:(I)在图1中,因为AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,BAD=,所以BEAC即在图2中,BE,BEOC从而BE平面又CDBE,所以CD平面.(II)由已知,平面平面BCDE,又由(1)知,BE,BEOC所以为二面角的平面角,所以.如图,以O为原点,建立空间直角坐标系,因为,所以得,.设平面的法向量,平面的法向量,平面与平面夹角为,则,得,取,,得,取,从而,即平面与平面夹角的余弦值为19.答案:T的分布列为:ET=32(分钟)解析过程:(I)由统计结果可得T的频率分步为(分钟)25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T的分布列为253035400.20.30.40.1从而(分钟)(II)设分别表示往、返所需时间,的取值相互独立,且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.解法一:.解法二:故.20.答案:解析过程:(I)过点(c,0),(0,b)的直线方程为,则原点O到直线的距离,由,得,解得离心率.(II)解法一:由(I)知,椭圆E的方程为.(1)依题意,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且.易知,AB不与x轴垂直,设其直线方程为,代入(1)得设则由,得解得.从而.于是.由,得,解得.故椭圆E的方程为.解法二:由(I)知,椭圆E的方程为.(2)依题意,点A,B关于圆心M(-2,1)对称,且.设则,,两式相减并结合得.易知,AB不与x轴垂直,则,所以AB的斜率因此AB直线方程为,代入(2)得所以,.于是.由,得,解得.故椭圆E的方程为.21.答案:(I)证明见解析;(II)当时,,当时,,证明见解析.解析过程:(I)则所以在内至少存在一个零点.又,故在内单调递增,所以在内有且仅有一个零点.因为是的零点,所以,即,故.(II)解法一:由题设,设当时,当时,若,若,所以在上递增,在上递减,所以,即.综上所述,当时,;当时解法二由题设,当时,当时,用数学归纳法可以证明.当时,所以成立.假设时,不等式成立,即.那么,当时,.又令,则所以当,,在上递减;当,,在上递增.所以,从而故.即,不等式也成立.所以,对于一切的整数,都有.解法三:由已知,记等差数列为,等比数列为,则,,所以,令当时,,所以.当时,而,所以,.若,,,当,,,从而在上递减,在上递增.所以,所以当又,,故综上所述,当时,;当时22.答案:见解析直径为3解析过程:(Ⅰ)因为是的直径,则,又,所以,又切于点,得,所以;(Ⅱ)由(Ⅰ)知平分,则,又,从而,由,解得,所以,由切割线定理得,解得,故,即的直径为3.23.答案:(3,0)解析过程:(1)由,得,从而有,所以(2)设,又,则24.已知关于的不等式的解集为.求实数,的值;求的最大值.答案:a=-3,b=14解析过程:(Ⅰ)由,得,由题意得,解得;(Ⅱ)柯西不等式得,当且仅当即时等号成立,故

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