2015年陕西高考理科数学试题及答案

2015年高考陕西省理科数学真题一、选择题1.设集合，，则（）A． B． C． D．2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A．167 B．137 C．123 D．933.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A．5 B．6 C．8 D．104.二项式的展开式中的系数为15，则（）A．4 B．5 C．6 D．75.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． B． C． D．6.“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要7.对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（）A． B．C． D．8.根据下边的图，当输入x为2006时，输出的（）A．28 B．10 C．4 D．29.设，若，，，则下列关系式中正确的是（）A． B． C． D．10.某企业生产甲乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元11.设复数，若，则的概率（）A． B． C． D．12.对二次函数（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．-1是的零点 B．1是的极值点C．3是的极值 D．点在曲线上二、填空题13.中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为14.若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则p=15.设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点p处的切线垂直，则p的坐标为16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为三、解答题17.的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．求；若，求的面积．18.如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．证明：平面；若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．19.设某校新、老校区之间开车单程所需时间为，只与道路畅通状况有关，对其容量为的样本进行统计，结果如下：求的分布列与数学期望；刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．20.已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．求椭圆的离心率；如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．21.设是等比数列，，，，的各项和，其中，，．证明：函数在内有且仅有一个零点（记为），且；设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，比较与的大小，并加以证明．22.如图，切于点，直线交于，两点，，垂足为．证明：；若，，求的直径．23.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为．写出的直角坐标方程；为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标．2015年高考陕西省理科数学真题答案一、选择题1.答案：A解析过程：由所以，选A2.答案：B解析过程：由图可知该校女教师的人数为，选B3.答案：C解析过程：试题分析：由图像得，当时，求得，当时，，选C4.答案：B解析过程：二项式的展开式的通项是，令得的系数是，因为的系数为，所以，即，解得：或，因为，所以，选C5.答案：D解析过程：试题分析：由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半，所以该几何体的表面积为，选6.答案：A解析过程：所以，选A7.答案：B解析过程：因为，所以选项A正确；当与方向相反时，不成立，所以选项B错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C正确；所以选项D正确，选B8.答案：C解析过程：初始条件：；第1次运行：；第2次运行：；第3次运行：；；第1003次运行：；第1004次运行：．不满足条件，停止运行，所以输出的，故选 B．9.答案：B解析过程：，，函数在上单调递增，因为，所以，所以，故选C10.答案：D解析过程：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨，则利润由题意可列，其表示如图阴影部分区域：当直线过点时，取得最大值，所以，故选D11.答案：D解析过程：如图可求得，，阴影面积等于若，则的概率是，故选B．12.答案：A解析过程：假设选项A错误，则选项B、C、D正确，，因为1是的极值点，3是的极值，所以，，解得，因为点在曲线上，所以，解得：，所以，，所以因为，所以不是的零点，所以假设成立，选A二、填空题13.答案：5解析过程：设数列的首项为，则，所以，故该数列的首项为14.答案：解析过程：抛物线的准线方程是，双曲线的一个焦点，因为抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，所以，解得15.答案：（1,1）解析过程：因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是16.答案：1.2解析过程：建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是，设抛物线的方程为（），因为该抛物线过点，所以，解得，所以，即，所以当前最大流量是，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是三、解答题17.答案：（I）；（II）．解析过程：（I）因为，所以，由正弦定理，得又，从而，由于，所以(II)解法一：由余弦定理，得而得，即因为，所以.故ABC的面积为解法二：由正弦定理得，从而，又由，知，所以故所以的面积为18.答案：（I）证明见解析；（II）解析过程：（I）在图1中，因为AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点，BAD=，所以BEAC即在图2中，BE，BEOC从而BE平面又CDBE，所以CD平面.(II)由已知，平面平面BCDE，又由（1）知，BE，BEOC所以为二面角的平面角，所以.如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，因为,所以得，.设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面夹角为，则，得，取，，得，取，从而，即平面与平面夹角的余弦值为19.答案：T的分布列为：ET=32（分钟）解析过程：（I）由统计结果可得T的频率分步为（分钟）25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T的分布列为253035400.20.30.40.1从而（分钟）(II)设分别表示往、返所需时间，的取值相互独立，且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.解法一：.解法二：故.20.答案：解析过程：（I）过点(c,0),(0,b)的直线方程为，则原点O到直线的距离，由，得，解得离心率.(II)解法一：由（I）知，椭圆E的方程为.(1)依题意，圆心M(-2,1)是线段AB的中点，且.易知，AB不与x轴垂直，设其直线方程为，代入(1)得设则由，得解得.从而.于是.由，得，解得.故椭圆E的方程为.解法二：由（I）知，椭圆E的方程为.(2)依题意，点A，B关于圆心M(-2,1)对称，且.设则，，两式相减并结合得.易知，AB不与x轴垂直，则，所以AB的斜率因此AB直线方程为，代入(2)得所以，.于是.由，得，解得.故椭圆E的方程为.21.答案：（I）证明见解析；（II）当时，，当时，，证明见解析．解析过程：（I）则所以在内至少存在一个零点.又，故在内单调递增，所以在内有且仅有一个零点.因为是的零点，所以，即，故.(II)解法一：由题设，设当时,当时,若,若,所以在上递增，在上递减，所以，即.综上所述，当时,；当时解法二由题设，当时,当时,用数学归纳法可以证明.当时,所以成立.假设时，不等式成立，即.那么，当时，.又令，则所以当,,在上递减；当,,在上递增.所以，从而故.即，不等式也成立.所以，对于一切的整数，都有.解法三:由已知，记等差数列为,等比数列为,则，，所以,令当时,,所以.当时,而，所以，.若,,,当,,,从而在上递减,在上递增.所以，所以当又,，故综上所述，当时,；当时22.答案：见解析直径为3解析过程：（Ⅰ）因为是的直径，则，又，所以，又切于点，得，所以；（Ⅱ）由（Ⅰ）知平分，则，又，从而，由，解得，所以，由切割线定理得，解得，故，即的直径为3.23.答案：（3,0）解析过程：（1）由，得，从而有，所以（2）设，又，则24.已知关于的不等式的解集为．求实数，的值；求的最大值．答案：a=-3,b=14解析过程：（Ⅰ）由，得，由题意得，解得；（Ⅱ）柯西不等式得，当且仅当即时等号成立，故