2010年陕西高考理科数学试题及答案

2010年陕西省高考理科数学试题选择题1.集合A= {x∣}，B={x∣x<1}，则=（）（A）{x∣x>1}(B){x∣x≥  1}(C){x∣}(D){x∣}2.复数在复平面上对应的点位于（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限3.对于函数，下列选项中正确的是（）（A）f（x）在（，）上是递增的（B）的图像关于原点对称（C）的最小正周期为2（D）的最大值为24.（）展开式中的系数为10，则实数a等于（）（A）-1（B）(C)1(D)25.已知函数=，若=4a，则实数a=（）（A）（B）(C)2(D)96.右图是求样本x1，x2，…x10平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为【】(A)S=S+xn(B)S=S+(C)S=S+n(D)S=S+7.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是【】(A)(B)(C)1(D)2左视图主视图1俯视图开始结束是否输出8.已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2－6x－7=0相切，则p的值为【】(A)(B)1(C)2(D)49.对于数列｛an｝，“an+1＞∣an∣（n=1，2…）”是“｛an｝为递增数列”的【】(A)必要不充分条件(B)充分不必要条件[来源:学+科+网](C)必要条件(D)既不充分也不必要条件10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表。那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为【】(A)y=(B)y=(C)y=(D)y=二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）。11.已知向量α  =（2，-1），b=(-1,m)，c=(-1,2),若（a+b）‖c,则m=_____12.观察下列等式：13+23=32，13+23+32=62，13+23+33+43=102，……，根据上述规律，第五个等式为_13+23+__32__+43____+53__=212___________.13.从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x,y）,则点M取自阴影部分的概率为.14.铁矿石A和B的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石的的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：ab(万吨)[来源:Zxxk.Com]C（百万元）A50%13B70%0．56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁,若要求的排放量不超过2(万吨),则购买铁矿石的最少费用为(百万元)15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)A.(不等式选做题)不等式的解集为.[来源:Z,xx,k.CoB.(几何证明选做题)如图,已知的两条直角边AC,BC的长分别为3cm,4cm,以AC为直径的图与AB交于点D,则.C.(坐标系与参数方程选做题)已知圆C的参数方程为以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为则直线与圆C的交点的直角坐标为三.解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共75分)16.(本小题满分12分)已知是公差不为零的等差数列,成等比数列.求数列的通项;求数列的前n项和17．（本小题满分12分）如图，A，B是海面上位于东西方向相聚5（3+）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D点需要多长时间？18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA  ⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2 √  2，E，F分别是AD，PC的重点（Ⅰ）证明：PC  ⊥平面BEF；（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。19（本小题满分12分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行出样检查，测得身高情况的统计图如下：[来源:Z+xx+k.Com]（）估计该小男生的人数；（）估计该校学生身高在170~185cm之间的概率；（）从样本中身高在165~180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170~180cm之间的概率。Zxxk.Com]20.（本小题满分13分）如图，椭圆C：的顶点为A1,A2,B1,B2,焦点为F1,F2,|A1B1| =,(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线，，是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。21、(本小题满分14分)已知函数f（x）=，g（x）=alnx，aR。[来源:学科网ZXXK][来源:学科网]若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；设函数h(x)=f(x)-g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值（a）的解析式；对（2）中的（a），证明：当a（0，+）时，（a）1.2010年陕西省高考理科数学试题参考答案1.集合A=，B=，则=【D】（A）（B）（C）（D）解析：本题考查集合的基本运算2.复数在复平面上对应的点位于【A】A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：本题考查复数的运算及几何意义，所以点（位于第一象限3.对于函数f(x)=2sinxcosx，下列选项中正确的是【B】A.f(x)在（，）上是递增的B.f(x)的图象关于原点对称C.f(x)的最小正周期为D.f(x)的最大值为2解析：本题考查三角函数的性质f(x)=2sinxcosx=sin2x，周期为π的奇函数4.展开式中的系数为10，则实数a等于【D】A.-1B.C.1D.2解析：本题考查二项展开式的通项公式5.已知函数f(x)=若f（f（0））=4a，则实数a等于【C】A.B.C.2D.9解析：f（0）=2，f（f（0））=f(2)=4+2a=4a，所以a=26.右图是求样本，，…，平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为【A】A.S=S+B.S=S+C.S=S+nD.S=S+7.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是【C】A.B.C.1D.2解析：本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱所以其体积为8.已知抛物线的准线与圆相切，则p的值为【C】A.B.1C.2D.4解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系法一：抛物线y2＝2px（p>0）的准线方程为，因为抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，所以法二：作图可知，抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切与点（-1,0）所以9.对于数列，“”是“为递增数列”的【B】A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由知所有项均为正项，且，即为递增数列反之，为递增数列，不一定有，如-2，-1,0,1,2，….10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为【B】A.B.C.D.解析：法一：特殊取值法，若x=56，y=5,排除C、D，若x=57，y=6，排除A，所以选B法二：设，，所以选B二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11.已知向量a=（2，-1），b=（-1，m），c=（-1,2），若（a+b）∥c，则m=-1解析：，所以m=-112.观察下列等式：，，，…，根据上述规律，第五个等式为。解析：第i个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1+2+...+（i+1）的平方所以第五个等式为。13.从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分部分的概率为解析：长方形区域的面积为3，阴影部分部分的面积为，所以点M取自阴影部分部分的概率为14.铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：aB(万吨)C（百万元）A50％13B70％0.56某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求的排放量不超过2（万吨）则购买铁矿石的最少费用为15（万元）解析：设购买铁矿石A和B各x，y万吨，则购买铁矿石的费用x,y满足约束条件表示平面区域为则当直线过点B（1,2）时，购买铁矿石的最少费用z=1515.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）不等式的解集为解析：法一：分段讨论综上，原不等式解集为法二：利用绝对值的几何意义放在数轴上研究法三：借助函数的图像研究B.(几何证明选做题)如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC,BC的长分别为3cm,4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则解析：,由直角三角形射影定理可得C.(坐标系与参数方程选做题)已知圆C的参数方程为（a为参数）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，则直线l与圆C的交点的直角坐标系为__(-1,1).(1,1)_____解析：直线l的极坐标方程为化为普通方程为y=1，所以直线l与圆的交点坐标为(-1,1).(1,1)三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）16.解：（1）由题设知公差d≠0由且成等比数列得解得d=1,d=0（舍去）故的通项（2）由（1）知，由等比数列前n项和公式得17.解：由题意知海里，在中，由正弦定理得=（海里），又海里，在中，由余弦定理得=30（海里），则需要的时间（小时）。答：救援船到达D点需要1小时。注：如果认定为直角三角形，根据勾股定理正确求得CD，同样给分。18.解法一：（Ⅰ）如图，以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系。∵，四边形ABCD是矩形∴A,B,C,D,P的坐标为又E,F分别是AD,PC的中点，∴∴,∴∴∴∴平面（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面BEF的法向量,平面BAP的法向量，∴=8设平面BEF与平面BAP的家教为θ，则，∴，∴平面BEF与平面BAP的夹角为解法二：（Ⅰ）连接PE,EC，在和中，PA=AB=CD,AE=DE,∴PE=CE,即是等腰三角形，又F是PC的中点，∴EF⊥PC，又是PC的中点，∴又（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC,又ABCD是矩形，∴AB⊥BC,∴BC⊥平面BAP，BC⊥PB,又由（Ⅰ）知PC⊥平面BEF,∴直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角，在中，PB=BC,,所以平面BEF与平面BAP的夹角为19.解：（Ⅰ）样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400人。（Ⅱ）由统计图知，样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70，所以样本中学生身高在170~180cm之间的概率p=0.5（Ⅲ）样本中女生身高在165~180cm之间的人数为10，身高在170~180cm之间的人数为4，设A表示事件“从样本中身高在165~180cm之间的女生中任取2人，至少有1人身高在170~180cm之间”，则（或）20.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由知，①由知a=2c，②又，③由①②③解得，故椭圆C的方程为（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为，假设使成立的直线存在，（ⅰ）当不垂直于x轴时，设的方程为，由与垂直相交于P点且||=1得，即∵，||=1，∴==1+0+0-1=0,即,将代入椭圆方程，得由求根公式可得，④⑤==将④，⑤代入上式并化简得⑥将代入⑥并化简得，矛盾即此时直线不存在（ⅱ）当垂直于x轴时，满足的直线的方程为x=1或x=-1，当X=1时，A,B,P的坐标分别为，∴，∴当x=-1时，同理可得，矛盾即此时直线也不存在综上可知，使成立的直线不存在21.（本小题满分14分）解