2021年全国高考乙卷数学(理科)试题(逐题解析word版)【适用地区:河南、安徽、江西、山西、陕西

2023-10-27 · U3 上传 · 28页 · 2.6 M

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上,将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用28铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑:如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上,3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案:不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一井交回。 适用地区河南安徽江西山西陕西黑龙江吉林甘肃内蒙古青海宁夏新疆一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设,则()A. B. C. D.2.已知集合,,则()A. B. C. D.3.已知命题﹔命题﹐,则下列命题中为真命题的是()A. B. C. D.4.设函数,则下列函数中为奇函数是()A. B. C. D.5.在正方体中,P为的中点,则直线与所成的角为()A. B. C. D.6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有()A.60种 B.120种 C.240种 D.480种7.把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数的图像,则()A. B.C. D.8.在区间与中各随机取1个数,则两数之和大于的概率为()A. B. C. D.9.魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作,其中第一题是测海岛的高.如图,点,,在水平线上,和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,称为“表距”,和都称为“表目距”,与的差称为“表目距的差”则海岛的高()A.表高 B.表高C.表距 D.表距10.设,若为函数的极大值点,则()A B. C. D.11.设是椭圆上顶点,若上的任意一点都满足,则的离心率的取值范围是()A. B. C. D.12.设,,.则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知双曲线的一条渐近线为,则C的焦距为_________.14.已知向量,若,则__________.15.记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,,,则________.16.以图①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________(写出符合要求的一组答案即可).三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.某厂研制了一种生产高精产品设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和,样本方差分别记为和.(1)求,,,;(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高).18.如图,四棱锥的底面是矩形,底面,,为的中点,且.(1)求;(2)求二面角的正弦值.19.记为数列前n项和,为数列的前n项积,已知.(1)证明:数列是等差数列;(2)求的通项公式.20.设函数,已知是函数的极值点.(1)求a;(2)设函数.证明:.21.已知抛物线的焦点为,且与圆上点的距离的最小值为.(1)求;(2)若点在上,是的两条切线,是切点,求面积的最大值.(二)选考题,共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)22.在直角坐标系中,的圆心为,半径为1.(1)写出的一个参数方程;(2)过点作的两条切线.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程.[选修4-5:不等式选讲](10分)23.已知函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若,求a的取值范围.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设,则()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设,利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式,解出这两个未知数的值,即可得出复数.【详解】设,则,则,所以,,解得,因此,.故选:C.2.已知集合,,则()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析可得,由此可得出结论.【详解】任取,则,其中,所以,,故,因此,.故选:C.3.已知命题﹔命题﹐,则下列命题中为真命题的是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由正弦函数的有界性确定命题的真假性,由指数函数的知识确定命题的真假性,由此确定正确选项.【详解】由于,所以命题为真命题;由于,所以,所以命题为真命题;所以为真命题,、、为假命题.故选:A.4.设函数,则下列函数中为奇函数的是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出选项的函数解析式,再利用奇函数的定义即可.【详解】由题意可得,对于A,不是奇函数;对于B,是奇函数;对于C,,定义域不关于原点对称,不是奇函数;对于D,,定义域不关于原点对称,不是奇函数.故选:B【点睛】本题主要考查奇函数定义,考查学生对概念的理解,是一道容易题.5.在正方体中,P为的中点,则直线与所成的角为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】平移直线至,将直线与所成的角转化为与所成的角,解三角形即可.【详解】如图,连接,因为∥,所以或其补角为直线与所成的角,因为平面,所以,又,,所以平面,所以,设正方体棱长为2,则,,所以.故选:D6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有()A.60种 B.120种 C.240种 D.480种【答案】C【解析】【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者,其余各项目中分配1名志愿者,然后利用组合,排列,乘法原理求得.【详解】根据题意,有一个项目中分配2名志愿者,其余各项目中分配1名志愿者,可以先从5名志愿者中任选2人,组成一个小组,有种选法;然后连同其余三人,看成四个元素,四个项目看成四个不同的位置,四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4!种,根据乘法原理,完成这件事,共有种不同的分配方案,故选:C.【点睛】本题考查排列组合的应用问题,属基础题,关键是首先确定人数的分配情况,然后利用先选后排思想求解.7.把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数的图像,则()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解法一:从函数的图象出发,按照已知的变换顺序,逐次变换,得到,即得,再利用换元思想求得的解析表达式;解法二:从函数出发,逆向实施各步变换,利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.【详解】解法一:函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到的图象,再把所得曲线向右平移个单位长度,应当得到的图象,根据已知得到了函数的图象,所以,令,则,所以,所以;解法二:由已知的函数逆向变换,第一步:向左平移个单位长度,得到的图象,第二步:图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到的图象,即为的图象,所以.故选:B.【点睛】本题考查三角函数的图象的平移和伸缩变换,属基础题,可以正向变换,也可以逆向变换求解,关键是要注意每一步变换,对应的解析式中都是的变换,图象向左平移个单位,对应替换成,图象向右平移a个单位,对应x替换成,牢记“左加右减”口诀;图象上每个点的横坐标伸长或缩短到原来的k倍,对应解析式中替换成.8.在区间与中各随机取1个数,则两数之和大于的概率为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设从区间中随机取出的数分别为,则实验的所有结果构成区域为,设事件表示两数之和大于,则构成的区域为,分别求出对应的区域面积,根据几何概型的的概率公式即可解出.【详解】如图所示:设从区间中随机取出的数分别为,则实验的所有结果构成区域为,其面积为.设事件表示两数之和大于,则构成的区域为,即图中的阴影部分,其面积为,所以.故选:B.【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题,解题关键是准确求出事件对应的区域面积,即可顺利解出.9.魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作,其中第一题是测海岛的高.如图,点,,在水平线上,和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,称为“表距”,和都称为“表目距”,与的差称为“表目距的差”则海岛的高()A.表高 B.表高C.表距 D.表距【答案】A【解析】【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出.【详解】如图所示:由平面相似可知,,而,所以,而,即=.故选:A.【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式,围绕所求目标进行转化即可解出.10.设,若为函数的极大值点,则()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合对进行分类讨论,画出图象,由此确定正确选项.【详解】若,则为单调函数,无极值点,不符合题意,故.依题意,为函数的极大值点,当时,由,,画出的图象如下图所示:由图可知,,故.当时,由时,,画出的图象如下图所示:由图可知,,故.综上所述,成立.故选:D【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质,利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.11.设是椭圆的上顶点,若上的任意一点都满足,则的离心率的取值范围是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设,由,根据两点间的距离公式表示出,分类讨论求出的最大值,再构建齐次不等式,解出即可.【详解】设,由,因为,,所以,因为,当,即时,,即,符合题意,由可得,即;当,即时,,即,化简得,,显然该不等式不成立.故选:C.【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值,利用二次函数求指定区间上的最值,要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值.12.设,,.则()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定,对于a与c,b与c的大小关系,将0.01换成x,分别构造函数,,利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性,结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c,b与c的大小关系.【详解】,所以;下面比较与的大小关系.记,则,,由于所以当00时,,所以,即函数在[0,+∞)上单调递减,所以,即,即b

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