2008年上海高考数学真题（理科）试卷（word解析版）

绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.得分评卷人一.填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．不等式的解集是.2．若集合、满足，则实数=_____________.3．若复数满足（是虚数单位），则=_____________.4．若函数的反函数为（），则.5．若向量、满足，，且与的夹角为，则=__________.6．函数的最大值是.7．在平面直角坐标系中，从六个点：、、、、、中任取三个，这三点能构成三角形的概率是(结果用分数表示).8．设函数是定义在上的奇函数.若当时，，则满足的的取值范围是.9．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，，，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为.若要使该总体的方差最小，则的取值分别是.10．某海域内有一孤岛.岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为、短轴长为的椭圆.已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上.现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为，那么船只已进入该浅水区的判别条件是.11．方程的解可视为函数的图像与函数的图像交点的横坐标.若方程的各个实根所对应的点()（=）均在直线的同侧，则实数的取值范围是.得分评卷人二.选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．12.组合数恒等于[答]()(A).(B).(C).(D).13.给定空间中的直线及平面.条件“直线与平面内无数条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的[答]()(A)充要条件.(B)充分非必要条件.(C)必要非充分条件.(D)既非充分又非必要条件.14.若数列是首项为1，公比为的无穷等比数列，且各项的和为，则的值是[答]()(A)1.(B)2.(C).(D).15.如图，在平面直角坐标系中，是一个与轴的正半轴、轴的正半轴分别相切于点、的定圆所围成的区域（含边界），是该圆的四等分点.若点、点满足且，则称优于.如果中的点满足：不存在中的其它点优于，那么所有这样的点组成的集合是劣弧[答]()(A).(B).(C).(D).三. 解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．得分评卷人16.（本题满分12分）如图，在棱长为2的正方体中，的中点.求直线与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.[解]得分评卷人17.（本题满分13分）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形.小区的两个出入口设置在点及点处，且小区里有一条平行于的小路.已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长（精确到1米）.[解]得分评卷人18.（本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分9分．已知双曲线，是上的任意点.（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点的坐标为，求的最小值.[证明]（1）[解]（2）得分评卷人19.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．已知函数.（1）若，求的值；（2）若对于恒成立，求实数的取值范围.[解]（1）（2）得分评卷人20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．设是平面直角坐标系中的点，是经过原点与点的直线.记是直线与抛物线的异于原点的交点.（1）已知.求点的坐标；（2）已知点在椭圆上，.求证：点落在双曲线上；（3）已知动点满足，.若点始终落在一条关于轴对称的抛物线上，试问动点的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由.[解]（1）[证明]（2）[解]（3）得分评卷人21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．已知以为首项的数列满足：（1）当，时，求数列的通项公式；（2）当，时，试用表示数列前100项的和；（3）当（是正整数），，正整数时，求证：数列,，，成等比数列当且仅当.[解]（1）（2）[证明]（3）2008年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷(理工农医类)答案要点及评分标准说明1.本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．解答一、（第1题至第11题）1..2..3..4..5..6.2.7..8..9..10..11..二、（第12题至第15题）题号12131415代号DCBD三、（第16题至第21题）16．[解]过作，交于，连接.，是直线与平面所成的角.……4分由题意，得.,.……8分，.……10分故直线与平面所成角的大小是.……12分17.[解法一]设该扇形的半径为米.连接.……2分由题意，得=500（米），=300（米），.……4分在△中，，……6分即，……9分解得（米）.答：该扇形的半径的长约为445米.……13分[解法二]连接，作，交于.……2分由题意，得=500（米），=300（米），.……4分在△中，，（米），……6分.……9分在直角△中，（米），，（米）.答：该扇形的半径的长约为445米.……13分18.[解]（1）设是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是和.……2分点到两条渐近线的距离分别是和，……4分它们的乘积是.点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.……6分（2）设的坐标为，则……8分.……11分，……13分当时，的最小值为，即的最小值为.……15分19.[解]（1）当时，；当时，.……2分由条件可知，即，解得.……6分，.……8分（2）当时，，……10分即.，.……13分，故的取值范围是.……16分20.[解]（1）当时，解方程组得即点的坐标为.……3分[证明]（2）由方程组得即点的坐标为.……5分是椭圆上的点，即，.因此点落在双曲线上.……8分（3）设所在抛物线的方程为，.……10分将代入方程，得，即.……12分当时，，此时点的轨迹落在抛物线上；当时，，此时点的轨迹落在圆上；当且时，，此时点的轨迹落在椭圆上；当时，，此时点的轨迹落在双曲线上.……16分21.[解]（1）由题意得.……3分（2）当时，，，，，，，…，，，，………6分.……10分（3）当时，；，；，；，.，，，.综上所述，当时，数列，，，是公比为的等比数列.……13分当时，，，，.……15分由于，，，故数列，，，不是等比数列.所以，数列，，，成等比数列当且仅当.……18分1.不等式的解集是 .【答案】【解析】由.2.若集合A＝{x|x≤2}、B＝{x|x≥a}满足A∩B＝{2}，则实数a＝ .【答案】【解析】由.3.若复数z满足z＝i(2-z)（i是虚数单位），则z＝ .【答案】【解析】由.4.若函数f(x)的反函数为f－1(x)＝x2（x＞0），则f(4)＝ .【答案】【解析】令.5.若向量eq\o(\s\up6(),\s\do1(a))、eq\o(\s\up6(),\s\do1(b))满足|eq\o(\s\up6(),\s\do1(a))|＝1，|eq\o(\s\up6(),\s\do1(b))|＝2，且eq\o(\s\up6(),\s\do1(a))与eq\o(\s\up6(),\s\do1(b))的夹角为eq\f(,3)，则|eq\o(\s\up6(),\s\do1(a))+eq\o(\s\up6(),\s\do1(b))|＝ .【答案】【解析】.6.函数f(x)＝eq\r(3)sinx+sin(eq\f(,2)+x)的最大值是 .【答案】【解析】由.7.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）.【答案】【解析】已知六个无共线的点生成三角形总数为：；可构成三角形的个数为：，所以所求概率为：；8.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0,+∞)时，f(x)＝lgx，则满足f(x)＞0的x的取值范围是 .【答案】【解析】由f(x)为奇函数得： 9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是 .【答案】【解析】根据总体方差的定义知，只需且必须时，总体方差最小；10.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 .【答案】【解析】依题意，；11.方程x2+eq\r(2)x－1＝0的解可视为函数y＝x+eq\r(2)的图像与函数y＝eq\f(1,x)的图像交点的横坐标，若x4+ax－4＝0的各个实根x1，x2，…，xk(k≤4)所对应的点(xi,eq\f(4,xi))（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是 .【答案】【解析】方程的根显然，原方程等价于，原方程的实根是曲线与曲线的交点的横坐标；而曲线是由曲线向上或向下平移个单位而得到的。若交点(xi,eq\f(4,xi))（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x的同侧，因直线y＝x与交点为：；所以结合图象可得： ；12.组合数Ceq\a(r,n)（n＞r≥1，n、r∈Z）恒等于（） A．eq\f(r+1,n+1)Ceq\a(r-1,n-1) B．(n+1)(r+1)Ceq\a(r-1,n-1)C．nrCeq\a(r-1,n-1)D．eq\f(n,r)Ceq\a(r-1,n-1)【答案】【解析】由.13.给定空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的（）条件A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分又非必要【答案】【解析】直线与平面内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面垂直，即充分性不成立；14.若数列{an}是首项为1，公比为a－eq\f(3,2)的无穷等比数列，且{an}各项的和为a，则a的值是（） A．1B．2C．eq\f(1,2)D．eq\f(5,4)【答案】【解析】由.15.如图，在平面直角坐标系中，