2013年上海高考数学真题（理科）试卷（word解析版）

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题1．计算：2．设，是纯虚数，其中i是虚数单位，则3．若，则4．已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c，若，则角C的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）5．设常数，若的二项展开式中项的系数为，则．6．方程的实数解为________7．在极坐标系中，曲线与的公共点到极点的距离为__________．8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）9．设AB是椭圆的长轴，点C在上，且，若AB=4，，则的两个焦点之间的距离为________10．设非零常数d是等差数列的公差，随机变量等可能地取值，则方差11．若，则．12．设为实常数，是定义在R上的奇函数，当时，，若对一切成立，则的取值范围为________13．在平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过作的水平截面，所得截面面积为，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为__________14．对区间I上有定义的函数，记，已知定义域为的函数有反函数，且，若方程有解，则二、选择题15．设常数，集合，若，则的取值范围为（）(A) (B) (C) (D)16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）(A)充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件17．在数列中，，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素，（）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）(A)18 (B)28 (C)48 (D)6318．在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值，其中,,则满足（）.(A) (B) (C) (D)三、解答题19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，证明直线BC1平行于平面DA1C，并求直线BC1到平面D1AC的距离.20．（6分+8分）甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润是元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.21．（6分+8分）已知函数，其中常数；（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，区间（且）满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值．22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线，曲线，P是平面上一点，若存在过点P的直线与都有公共点，则称P为“C1—C2型点”．(1)在正确证明的左焦点是“C1—C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“C1—C2型点”；(3)求证：圆内的点都不是“C1—C2型点”．23．（3 分+6分+9分）给定常数，定义函数，数列满足.（1）若，求及；（2）求证：对任意，；（3）是否存在，使得成等差数列？若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由.2013年上海高考理科数学（参考答案）填空题1.2.－23.04.5.－26.7.8.9.10.30d²11.12.13.14.2选择题题号15161718代号BBAD解答题19.【解答】因为ABCD-A1B1C1D1为长方体，故，故ABC1D1为平行四边形，故，显然B不在平面D1AC上，于是直线BC1平行于平面DA1C； 直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为考虑三棱锥ABCD1的体积，以ABC为底面，可得而中，，故所以，，即直线BC1到平面D1AC的距离为．20．【解答】(1)根据题意，又，可解得(2)设利润为元，则故时，元．21．【解答】(1)因为，根据题意有(2)，或，即的零点相离间隔依次为和，故若在上至少含有30个零点，则的最小值为．23.【解答】：（1）C1的左焦点为，过F的直线与C1交于，与C2交于，故C1的左焦点为“C1-C2型点”，且直线可以为；（2）直线与C2有交点，则，若方程组有解，则必须；直线与C2有交点，则，若方程组有解，则必须故直线至多与曲线C1和C2中的一条有交点，即原点不是“C1-C2型点”。（3）显然过圆内一点的直线若与曲线C1有交点，则斜率必存在；根据对称性，不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点，则直线与圆内部有交点，故化简得，。。。。。。。。。。。。①若直线与曲线C1有交点，则化简得，。。。。。②由①②得，但此时，因为，即①式不成立；当时，①式也不成立综上，直线若与圆内有交点，则不可能同时与曲线C1和C2有交点，即圆内的点都不是“C1-C2型点”．23.【解答】：（1）因为，，故，（2）要证明原命题，只需证明对任意都成立，即只需证明若，显然有成立；若，则显然成立综上，恒成立，即对任意的，（3）由（2）知，若为等差数列，则公差，故n无限增大时，总有此时，即故，即，当时，等式成立，且时，，此时为等差数列，满足题意；若，则，此时，也满足题意；综上，满足题意的的取值范围是．2013年上海市秋季高考理科数学一、填空题1．计算：【解答】根据极限运算法则，．2．设，是纯虚数，其中i是虚数单位，则【解答】．3．若，则【解答】．4．已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c，若，则角C的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）【解答】，故．5．设常数，若的二项展开式中项的系数为，则【解答】，故．6．方程的实数解为________【解答】原方程整理后变为．7．在极坐标系中，曲线与的公共点到极点的距离为__________【解答】联立方程组得，又，故所求为．8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）【解答】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为．9．设AB是椭圆的长轴，点C在上，且，若AB=4，，则的两个焦点之间的距离为________【解答】不妨设椭圆的标准方程为，于是可算得，得．10．设非零常数d是等差数列的公差，随机变量等可能地取值，则方差【解答】，．11．若，则【解答】，，故．12．设为实常数，是定义在R上的奇函数，当时，，若对一切成立，则的取值范围为________【解答】，故；当时，即，又，故．13．在平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过作的水平截面，所得截面面积为，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为__________【解答】根据提示，一个半径为1，高为的圆柱平放，一个高为2，底面面积的长方体，这两个几何体与放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即的体积值为．14．对区间I上有定义的函数，记，已知定义域为的函数有反函数，且，若方程有解，则【解答】根据反函数定义，当时，；时，，而的定义域为，故当时，的取值应在集合，故若，只有．二、选择题15．设常数，集合，若，则的取值范围为（）(A) (B) (C) (D)【解答】集合A讨论后利用数轴可知，或，解答选项为B．16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）(A)充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件【解答】根据等价命题，便宜没好货，等价于，好货不便宜，故选B．17．在数列中，，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素，（）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）(A)18 (B)28 (C)48 (D)63【解答】，而，故不同数值个数为18个，选A．18．在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值，其中,,则满足（）.(A) (B) (C) (D)【解答】作图知，只有，其余均有，故选D．三、解答题19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，证明直线BC1平行于平面DA1C，并求直线BC1到平面D1AC的距离.【解答】因为ABCD-A1B1C1D1为长方体，故，故ABC1D1为平行四边形，故，显然B不在平面D1AC上，于是直线BC1平行于平面DA1C； 直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为考虑三棱锥ABCD1的体积，以ABC为底面，可得而中，，故所以，，即直线BC1到平面D1AC的距离为．20．（6分+8分）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润是元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.【解答】(1)根据题意，又，可解得(2)设利润为元，则故时，元．21．（6分+8分）已知函数，其中常数；（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，区间（且）满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值．【解答】(1)因为，根据题意有(2)，或，即的零点相离间隔依次为和，故若在上至少含有30个零点，则的最小值为．22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线，曲线，P是平面上一点，若存在过点P的直线与都有公共点，则称P为“C1—C2型点”．(1)在正确证明的左焦点是“C1—C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“C1—C2型点”；(3)求证：圆内的点都不是“C1—C2型点”．【解答】：（1）C1的左焦点为，过F的直线与C1交于，与C2交于，故C1的左焦点为“C1-C2型点”，且直线可以为；（2）直线与C2有交点，则，若方程组有解，则必须；直线与C2有交点，则，若方程组有解，则必须故直线至多与曲线C1和C2中的一条有交点，即原点不是“C1-C2型点”。（3）显然过圆内一点的直线若与曲线C1有交点，则斜率必存在；根据对称性，不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点，则直线与圆内部有交点，故化简得，。。。。。。。。。。。。①若直线与曲线C1有交点，则化简得，。。。。。②由①②得，但此时，因为，即①式不成立；当时，①式也不成立综上，直线若与圆内有交点，则不可能同时与曲线C1和C2有交点，即圆内的点都不是“C1-C2型点”．23．（3 分+6分+9分）给定常数，定义函数，数列满足.（1）若，求及；（2）求证：对任意，；（3）是否存在，使得成等差数列？若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由.【解答】：（1）因为，，故，（2）要证明原命题，只需证明对任意都成立，即只需证明若，显然有成立；若，则显然成立综上，恒成立，即对任意的，（3）由（2）知，若为等差数列，则公差，故n无限增大时，总有此时，即故，即，当时，等式成