2009四川高考数学(理科)试题及参考答案

2023-10-27 · U3 上传 · 18页 · 989 K

2009年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科数学第Ⅰ卷本试卷共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。参考公式:如果事件互斥,那么 球的表面积公式 其中表示球的半径如果事件相互独立,那么 球的体积公式 其中表示球的半径 一、选择题:设集合则A. B. C. D.2.已知函数连续,则常数的值是A.2 B.3 C.4 D.53.复数的值是A.-1 B.1 C.-D.4.已知函数,下面结论错误的是A.函数的最小正周期为B.函数在区间上是增函数C.函数的图像关于直线对称D.函数是奇函数5.如图,已知六棱锥的底面是正六边形,,则下列结论正确的是A. B.平面C.直线∥平面D.6.已知为实数,且。则“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知双曲线的左右焦点分别为,其一条渐近线方程为,点在该双曲线上,则=A.B.C.0D.48.如图,在半径为3的球面上有三点,,球心到平面的距离是,则两点的球面距离是A.B.C.D.9.已知直线和直线,抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是A.2B.3C.D.10.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元,该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨,那么该企业可获得最大利润是A.12万元B.20万元C.25万元D.27万元11.3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是A.360B.228C.216D.9612.已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数,且对任意实数都有,则的值是A.0B.C.1D.第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.13.的展开式的常数项是(用数字作答)14.若⊙与⊙相交于A、B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是15.如图,已知正三棱柱的各条棱长都相等,是侧棱的中点,则异面直线所成的角的大小是。16.设是已知平面上所有向量的集合,对于映射,记的象为。若映射满足:对所有及任意实数都有,则称为平面上的线性变换。现有下列命题:①设是平面上的线性变换,则②对,则是平面上的线性变换;③若是平面上的单位向量,对,则是平面上的线性变换;④设是平面上的线性变换,,若共线,则也共线。其中真命题是(写出所有真命题的序号)三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)在中,为锐角,角所对应的边分别为,且(I)求的值;(II)若,求的值。18.(本小题满分12分)为振兴旅游业,四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡,向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡),向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游,其中是省外游客,其余是省内游客。在省外游客中有持金卡,在省内游客中有持银卡。(I)在该团中随机采访3名游客,求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率;(II)在该团的省内游客中随机采访3名游客,设其中持银卡人数为随机变量,求的分布列及数学期望。19(本小题满分12分)如图,正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直,△是等腰直角三角形,(I)求证:;(II)设线段的中点为,在直线上是否存在一点,使得?若存在,请指出点的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由;(III)求二面角的大小。20(本小题满分12分)已知椭圆的左右焦点分别为,离心率,右准线方程为。(I)求椭圆的标准方程;(II)过点的直线与该椭圆交于两点,且,求直线的方程。21.(本小题满分12分)已知函数。(I)求函数的定义域,并判断的单调性;(II)若(III)当(为自然对数的底数)时,设,若函数的极值存在,求实数的取值范围以及函数的极值。22.(本小题满分14分)设数列的前项和为,对任意的正整数,都有成立,记。(I)求数列的通项公式;(II)记,设数列的前项和为,求证:对任意正整数都有;(III)设数列的前项和为。已知正实数满足:对任意正整数恒成立,求的最小值。2009年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科数学参考答案(1)C(2)B(3)A(4)D(5)D(6)B(7)C(8)B(9)A(10)D(11)B(12)A(13)-20(14)4(15)(16)①②③1.设集合则A. B. C. D.【考点定位】本小题考查解含有绝对值的不等式、一元二次不等式,考查集合的运算,基础题。解析:由题,故选择C。2.已知函数连续,则常数的值是A.2 B.3 C.4 D.5【考点定位】本小题考查函数的连续性,考查分段函数,基础题。解析:由题得,故选择B。3.复数的值是A.-1 B.1 C.-D.【考点定位】本小题考查复数的运算,基础题。解析:,故选择A。4.已知函数,下面结论错误的是A.函数的最小正周期为B.函数在区间上是增函数C.函数的图像关于直线对称D.函数是奇函数【考点定位】本小题考查诱导公式、三角函数的奇偶性、周期、单调性等,基础题。(同文4)解:,其中A、C显然正确,故选择D。5.如图,已知六棱锥的底面是正六边形,,则下列结论正确的是A. B.平面、C.直线∥平面D.【考点定位】本小题考查空间里的线线、线面关系,基础题。(同文6)解:由三垂线定理,因AD与AB不相互垂直,排除A;作于,因面面ABCDEF,而AG在面ABCDEF上的射影在AB上,而AB与BC不相互垂直,故排除B;由,而EF是平面PAE的斜线,故排除C,故选择D。6.已知为实数,且。则“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【考点定位】本小题考查不等式的性质、简单逻辑,基础题。(同文7)解析:推不出;但,故选择B。7.已知双曲线的左右焦点分别为,其一条渐近线方程为,点在该双曲线上,则=A.B.C.0D.4【考点定位】本小题考查双曲线的渐近线方程、双曲线的定义,基础题。(同文8)解析:由题知,故,∴,故选择C。8.如图,在半径为3的球面上有三点,,球心到平面的距离是,则两点的球面距离是A.B.C.D.【考点定位】本小题考查球的截面圆性质、球面距,基础题。(同文9)解析:由知截面圆的半径,故,所以两点的球面距离为,故选择B。9.已知直线和直线,抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是A.2B.3C.D.【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离,综合题。解析:直线为抛物线的准线,由抛物线的定义知,P到的距离等于P到抛物线的焦点的距离,故本题化为在抛物线上找一个点使得到点和直线的距离之和最小,最小值为到直线的距离,即,故选择A。10.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元,该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨,那么该企业可获得最大利润是A.12万元B.20万元C.25万元D.27万元【考点定位】本小题考查简单的线性规划,基础题。(同文10)解析:设甲、乙种两种产品各需生产、吨,可使利润最大,故本题即已知约束条件,求目标函数的最大值,可求出最优解为,故,故选择D。11.3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是A.360B.228C.216D.96【考点定位】本小题考查排列综合问题,基础题。解析:6位同学站成一排,3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有种,其中男生甲站两端的有,符合条件的排法故共有12.已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数,且对任意实数都有,则的值是A.0B.C.1D.【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法,综合题。(同文12)解析:令,则;令,则由得,所以,故选择A。13.的展开式的常数项是(用数字作答)【考点定位】本小题考查二项式展开式的特殊项,基础题。(同文13)解析:由题知的通项为,令得,故常数项为。14.若⊙与⊙相交于A、B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是w【考点定位】本小题考查圆的标准方程、两直线的位置关系等知识,综合题。解析:由题知,且,又,所以有,∴。15.如图,已知正三棱柱的各条棱长都相等,是侧棱的中点,则异面直线所成的角的大小是。【考点定位】本小题考查异面直线的夹角,基础题。解析:不妨设棱长为2,选择基向量,则,故填写。法2:取BC中点N,连结,则面,∴是在面上的射影,由几何知识知,由三垂线定理得,故填写。16.设是已知平面上所有向量的集合,对于映射,记的象为。若映射满足:对所有及任意实数都有,则称为平面上的线性变换。现有下列命题:=1\*GB3①设是平面上的线性变换,则=2\*GB3②对设,则是平面上的线性变换;=3\*GB3③若是平面上的单位向量,对设,则是平面上的线性变换;=4\*GB3④设是平面上的线性变换,,若共线,则也共线。其中真命题是(写出所有真命题的序号)【考点定位】本小题考查新定义,创新题。解析:令,由题有,故①正确;由题,,即,故②正确;由题,,即,故③不正确;由题,,即也共线,故④正确;三、解答题(17)本小题主要考查同角三角函数间的关系,两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力。解:(Ⅰ)、为锐角,,又,,,…………………………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,.由正弦定理得,即,,,……………………………………12分(18)本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算,考察运用概率只是解决实际问题的能力。解:(Ⅰ)由题意得,省外游客有27人,其中9人持金卡;省内游客有9人,其中6人持银卡。设事件为“采访该团3人中,恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”,事件为“采访该团3人中,1人持金卡,0人持银卡”,事件为“采访该团3人中,1人持金卡,1人持银卡”。所以在该团中随机采访3人,恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是。…………………………………………………………6分(Ⅱ)的可能取值为0,1,2,3,,,所以的分布列为0123所以,……………………12分(19)本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角等基础知识,考察空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识,考察应用向量知识解决数学问题的能力。解法一:(Ⅰ)因为平面⊥平面,平面,平面平面,所以⊥平面所以⊥.因为为等腰直角三角形,,所以又因为,所以,即⊥,所以⊥平面。……………………………………4分(Ⅱ)存在点,当为线段AE的中点时,PM∥平面取BE的中点N,连接AN,MN,则MN∥=∥=PC所以PMNC为平行四边形,所以PM∥CN因为CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,所以PM∥平面BCE……………………………………8分(Ⅲ)由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知,EA⊥平面ABCD作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA。从而,FG⊥平面ABCD作GH⊥BD于G,连结FH,则由三垂线定理知,BD⊥FH因此,∠AEF为二面角F-BD-A的平面角因为FA=FE,∠AEF=45°,所以∠AFE=90°,∠FAG=45°.设AB=1,则AE=1,AF=.FG=AF·sinFAG=在Rt△FGH中,∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,GH=BG·sinGBH=·=在Rt△FGH中,tanFHG==故二面角F-BD-A的大小为arctan.………………………………12分解法二:(Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,所以AE⊥A

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