2008年四川高考理科数学(非延考区)试题及答案详解

2008年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科数学(非延考卷)说明：2008年是四川省高考自主命题的第三年，因突遭特大地震灾害，四川六市州40县延考，本卷为非延考卷．一、选择题：（）1．若集合，，，则（ ）A．B．C．D．2．复数（ ）A．4 B．4C．4 D．43．（ ）A．B．C． D．4．直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位后所得的直线为（ ）A．B．C． D．5．若，，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．6．从包括甲、乙共10人中选4人去参加公益活动，要求甲、乙至少有1人参加，则不同的选法有（ ）A．70 B．112C．140D．1687．已知等比数列中，，则该数列前三项和的取值范围是（ ）A． B． C． D．8．设、是球的半径上的两点，且，分别过、、作垂直于的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为（ ）A．3：5：6 B．3：6：8C．5：7：9 D．5：8：99．设直线平面，过平面外一点且与、都成角的直线有且只有（ ）A．1条 B．2条C．3条 D．4条10．设，其中，则函数是偶函数的充分必要条件是（ ）A． B． C． D．11．定义在上的函数满足：，，则（ ）A． B． C． D．12．设抛物线的焦点为，准线与轴相交于点，点在上且，则的面积为（ ）A．4 B．8 C．16 D．32二、填空题：（）13．的展开式中项的系数是14．已知直线，圆，则圆上各点到直线的距离的最小值是15．已知正四棱柱的一条对角线长为，且与底面所成的角的余弦值为，则该正四棱柱的体积是．设等差数列的前项和为，，，则的最大值是.三、解答题：（）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．求函数的最大值和最小值．18．设进入某商场的每一位顾客购买甲商品的概率0.5，购买乙商品的概率为0.6，且顾客购买甲商品与购买乙商品相互独立，每位顾客间购买商品也相互独立．（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅲ）设是进入商场的3位顾客至少购买甲、乙商品中一种的人数，求的分布列及期望．BACDEF19．如图，面面，四边形与都是直角梯形，，，．（Ⅰ）求证：、、、四点共面；（Ⅱ）若，求二面角的大小．20．设数列满足：．（Ⅰ）当时，求证：是等比数列；（Ⅱ）求通项公式．21．设椭圆的左、右焦点分别是、，离心率，右准线上的两动点、，且．（Ⅰ）若，求、的值；（Ⅱ）当最小时，求证与共线．22．已知是函数的一个极值点．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）当直线与函数的图像有3个交点，求的取值范围．2008年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科数学说明：2008年是四川省高考自主命题的第三年，因突遭特大地震灾害，四川六市州40县延考，本卷为非延考卷．一、选择题：（）1、解析：选B．离散型集合的交并补，送分题．难度为三年来最低，究其原因，盖汶川地震之故．2、解析：选A．计算题，无任何陷阱，徒送分耳．2008四川考生因祸得福．3、解析：原式，选D．同角三角函数基本关系式，切化弦技巧等，属三角恒等变换范畴，辅以常规的代数变形．中等生无忧．4、解析：本题有新意，审题是关键．旋转则与原直线垂直，故旋转后斜率为．再右移1得．选A．本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换．5、解析：，即，即，即；又由，得；综上，，即．选C．本题考到了正弦函数的正负区间．除三角函数的定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性之外，还要记对称轴、对称中心、正负区间．3，4，5题是本卷第一个坡，是中差生需消耗时间的地方．6、解析：审题后针对题目中的至少二字，首选排除法．．选C．本题应注意解题策略．7、解析：．由双勾函数的图象知，或，故本题选D．本题主要考查等比数列的相关概念和双勾函数的图象和性质．以上诸题，基本功扎实的同学耗时不多．8、解析：由题知，、是的三等分点，三个圆的面积之比即为半径的平方之比．在球的轴载面图中易求得：，，故三个圆的半径的平方之比为：，故本题选D．本题着意考查空间想象能力．9、解析：所求直线在平面内的射影必与直线平行，这样的直线只有两条，选B．本题考查空间角的概念和空间想象能力．10、解析：本题考查理性思维和综合推理能力．函数是偶函数，则，，故排除A，B．又，，．选D．此为一般化思路．也可走特殊化思路，取，验证．11、解析：由，知，所以，即是周期函数，周期为4．所以．选C．题着意考查抽象函数的性质．赋值、迭代、构造是解抽象函数问题不可或缺的三招．本题看似艰深，实为抽象函数问题中的常规题型，优生要笑了．12、解析：解几常规题压轴，不怕．边读题边画图．的焦点，准线，．设，由，得，即．化简得：，与联立求解，解得：，．，选B．本题的难度仅体现在对运算的准确性和快捷性上．二、填空题：（）13、答案：．解析：二项式定理再现，难度高于文科。．项的系数是．这是中档略偏难的常规题．中差生在准确性和快捷性上有缺陷．14、答案：．解析：由数想形，所求最小值＝圆心到到直线的距离－圆的半径．圆心到直线的距离．故最小值为．15、答案：2．解析：由题意，，，16、答案：4．解析：由题意，，即，，．这是加了包装的线性规划，有意思．建立平面直角坐标系，画出可行域（图略），画出目标函数即直线，由图知，当直线过可行域内点时截距最大，此时目标函数取最大值．本题明为数列，实为线性规划，着力考查了转化化归和数形结合思想．掌握线性规划问题＂画－移－求－答＂四步曲，理解线性规划解题程序的实质是根本．这是本题的命题意图．因约束条件只有两个，本题也可走不等式路线．设，由解得，∴，由不等式的性质得：，即，的最大值是4．从解题效率来看，不等式路线为佳，尽管命题者的意图为线性规划路线．本题解题策略的选择至关重要．三、解答题：（）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、解析：，．解析：，．18、解析：题目这么容易，估计今年的评分标准要偏严了．（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）可取0，1，2，3． 的分布列为01230.0080.0960.3840.512．19、解析：不是会不会的问题，而是熟不熟的问题，答题时间是最大问题．（Ⅰ）∵面面， ∴面． ∴以为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设，，，则 ，，，，，． ∴，，∴，∴，∵，∴，∴、、、四点共面．（Ⅱ）设，则，∴，，．设平面的法向量为， 由，得， 设平面的法向量为由，得， 由图知，二面角为锐角，∴其大小为．20、解析：由题意，在中，令，得，． 由 得 两式相减得： 即 …………①（Ⅰ）当时，由①知， 于是又，所以是首项为1，公比为2的等比数列．（Ⅰ）变：当时，求的通项公式．解法如下：解：当时，由①知，两边同时除以得 ∴是等差数列，公差为，首项为 ∴∴（∴，∴是等比数列，首项为1，公比为2）（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，，即当时，由①： 两边同时除以得可设 …………②展开②得，与比较，得，∴．∴∴是等比数列，公比为，首项为∴∴∴21、解析：数列和解几位列倒数第三和第二，意料之中．开始挤牙膏吧．（Ⅰ）由已知，，．由，，∴．又，∴，．∴：，，．延长交于，记右准线交轴于．∵，∴．由平几知识易证≌∴，即，．∵，∴，，，．∴，．（Ⅰ）另解：∵，∴，．又联立，消去、得：，整理得：，．解得．但解此方程组要考倒不少人．（Ⅱ）∵，∴．．当且仅当或时，取等号．此时取最小值．此时．∴与共线．（Ⅱ）另解：∵，∴，． 设，的斜率分别为，．由，由．当且仅当即，时取等号．即当最小时，，此时．∴与共线．22、解析：似曾相识．通览后三题，找感觉，先熟后生，先易后难，分步得分．本卷后三难中，压轴题最熟最易入手．（Ⅰ）是函数的一个极值点．（Ⅱ）由（Ⅰ），． 令，得，．和随的变化情况如下：增极大值减极小值增的增区间是，；减区间是．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减． ∴，． 又时，；时，； 可据此画出函数的草图（图略），由图可知，当直线与函数的图像有3个交点时，的取值范围为．