2014四川高考数学(理科)试题及参考答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。满分150分。考试时间120分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。第Ⅰ卷共10小题。一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1．已知集合，集合为整数集，则A．B．C．D．2．在的展开式中，含项的系数为A．B．C．D．3．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度4．若，，则一定有A．B．C．D．5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的的最大值为A．B．C．D．6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有A．种B．种C．种D．种7．平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则A．B．C．D．8．如图，在正方体中，点为线段的中点。设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是A．B．C．D．9．已知，。现有下列命题：①；②；③。其中的所有正确命题的序号是A．①②③B．②③C．①③D．①②10．已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所示的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。第Ⅱ卷共11小题。二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。11．复数。12．设是定义在R上的周期为2的函数，当时，，则。13．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度BC约等于。（用四舍五入法将结果精确到个位。参考数据：，，，，）14．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是。15．以表示值域为R的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间。例如，当，时，，。现有如下命题：①设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”；②函数的充要条件是有最大值和最小值；③若函数，的定义域相同，且，，则；④若函数（，）有最大值，则。其中的真命题有。（写出所有真命题的序号）三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。16．(本小题满分12分)已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）若是第二象限角，，求的值.17．(本小题满分12分)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得分）。设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立。（1）设每盘游戏获得的分数为，求的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了。请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.18．(本小题满分12分)三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示。设，分别为线段，的中点，为线段上的点，且.（1）证明：为线段的中点；（2）求二面角的余弦值.19．(本小题满分12分)设等差数列的公差为，点在函数的图象上（）.（1）若，点在函数的图象上，求数列的前项和；（2）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和.20．(本小题满分13分)已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；（ii）当最小时，求点T的坐标.21．(本小题满分14分)已知函数，其中，为自然对数的底数.（1）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；（2）若，函数在区间内有零点，求的取值范围2014年普通高等学校招生全国统一考试理科（四川卷）参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1.【答案】A【解析】，，故2.【答案】C【解析】含项为3.【答案】A【解析】因为，故可由函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度得到4.【答案】D【解析】由，又，由不等式性质知：，所以5.【答案】C【解析】当时，函数的最大值为2.6.【答案】B【解析】当最左端为甲时，不同的排法共有种；当最左端为乙时，不同的排法共有种,共有+种7.【答案】D【解析1】因为，，所以，又所以即【解析2】由几何意义知为以，为邻边的菱形的对角线向量，又故8.【答案】B【解析】直线与平面所成的角为的取值范围，由于，，所以的取值范围是9.【答案】A【解析】故①正确当时，令（）因为，所以在单增，即，又与为奇函数，所以成立故③正确10.【答案】B【解析】设直线AB的方程为：，点，，又，直线AB与轴的交点（不妨假设）由，所以又因为点，在该抛物线上且位于轴的两侧，所以，故于是当且仅当时取“”，所以与面积之和的最小值是二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。11.【答案】【解析】12.【答案】【解析】13.【答案】【解析】，14.【答案】【解析】，，因为，所以故（当且仅当时取“”）15.【答案】①③④三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.解：（1）由所以的单调递增区间为（）（2）由因为所以又是第二象限角，所以或①由（）所以②由所以综上，或17.解：（1）可能取值有，10，20，100，，，故分布列为1020100P（2）由（1）知：每盘游戏出现音乐的概率是则玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是（3）由（1）知，每盘游戏获得的分数为的数学期望是分这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少。18.解：（1）由三棱锥及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥中：平面平面，设为的中点，连接，于是，所以平面因为，分别为线段，的中点，所以，又，故假设不是线段的中点，则直线与直线是平面内相交直线从而平面，这与矛盾所以为线段的中点（2）以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，则，，，于是，，设平面和平面的法向量分别为和由，设，则由，设，则所以二面角的余弦值19.解：（1）点在函数的图象上，所以，又等差数列的公差为，所以因为点在函数的图象上，所以，所以又，所以（2）由函数的图象在点处的切线方程为所以切线在轴上的截距为，从而，故从而，，所以故20.解：（1）依条件所以椭圆C的标准方程为（2）设，，，又设中点为（i）因为，所以直线的方程为：所以于是，所以。因为所以，，三点共线即OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）（ii），所以，令（）则（当且仅当时取“”）所以当最小时，即或，此时点T的坐标为或21.解：（1）因为所以又因为，所以：①若，则，，所以函数在区间上单增，②若，则，于是当时，当时，所以函数在区间上单减，在区间上单增，③若，则，所以函数在区间上单减，综上：在区间上的最小值为（2）由，又若函数在区间内有零点，则函数在区间内至少有三个单调区间由（1）知当或时，函数即在区间上单调，不可能满足“函数在区间内至少有三个单调区间”这一要求。若，则令（）则。由所以在区间上单增，在区间上单减即恒成立于是，函数在区间内至少有三个单调区间又所以综上，的取值范围为