2017年陕西高考理科数学试题及答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（）A．B．C．D．2.设集合，．若，则（）A．B．C．D．3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5.设，满足约束条件，则的最小值是（）A．B．C．1D．9安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩8.执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（）A．2B．3C．4D．59.若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）A2B．C．D．10.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11.若是函数的极值点，则的极小值为（）A.B.C.D.112.已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则．14.函数（）的最大值是．15.等差数列的前项和为，，，则．16.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）的内角的对边分别为,已知．(1)求(2)若,面积为2,求18.（12分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率；填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828E是PD的中点19.（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面三角形BCD，（1）证明：直线平面PAB（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为，求二面角M-AB-D的余弦值20.（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足.求点P的轨迹方程；设点Q在直线x=-3上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.21.（12分）已知函数且.（1）求a；（2）证明：存在唯一的极大值点，且..（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。22.选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值．23.选修4-5：不等式选讲（10分）已知.证明：（1）QUOTE；（2）QUOTE。2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷）理科数学解析1．D【解析】2．C【解析】1是方程的解，代入方程得∴的解为或，∴3．B【解析】设顶层灯数为，，，解得．4．B【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半．5．A【解析】目标区域如图所示，当直线取到点时，所求最小值为．6．D【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．由此把4份工作分成3份再全排得7．D【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．8．B【解析】，，代入循环得，时停止循环，．9．A【解析】取渐近线，化成一般式，圆心到直线距离为得，，．10．C【解析】，，分别为，，中点，则，夹角为和夹角或其补角（异面线所成角为）可知，，作中点，则可知为直角三角形．，中，，则，则中，则中，又异面线所成角为，则余弦值为．11．A【解析】，则，则，，令，得或，当或时，，当时，，则极小值为．12．B【解析】几何法：如图，（为中点），则，要使最小，则，方向相反，即点在线段上，则，即求最大值，又，则，则．解析法：建立如图坐标系，以中点为坐标原点，∴，，．设，，，，∴则其最小值为，此时，．13．【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中，则14．【解析】令且则当时，取最大值1．15．【解析】设首项为，公差为．则求得，，则，16．【解析】则，焦点为，准线，如图，为、中点，故易知线段为梯形中位线，∵，，∴又由定义，且，∴17.【解析】（1）依题得：．∵，∴，∴，∴，（2）由⑴可知．∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．18．【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于”为事件“新养殖法的箱产量不低于”为事件而（2）箱产量箱产量旧养殖法6238新养殖法3466由计算可得的观测值为∵∴∴有以上的把握产量的养殖方法有关．（3），，，∴中位数为．19．【解析】（1）令中点为，连结，，．∵，为，中点，∴为的中位线，∴．又∵，∴．又∵，∴，∴．∴四边形为平行四边形，∴．又∵，∴（2）以中点为原点，如图建立空间直角坐标系．设，则，，，，，．在底面上的投影为，∴．∵，∴为等腰直角三角形．∵为直角三角形，，∴．设，，．∴．．∴．∴，，．设平面的法向量．，∴，．设平面的法向量为，．∴．∴二面角的余弦值为．20．⑴设，易知又∴，又在椭圆上．∴，即．⑵设点，，，由已知：，，∴，∴．设直线：，因为直线与垂直．∴故直线方程为，令，得，，∴，∵，∴，若，则，，，直线方程为，直线方程为，直线过点，为椭圆的左焦点．21．⑴因为，，所以．令，则，，当时，，单调递减，但，时，；当时，令，得．当时，，单调减；当时，，单调增．若，则在上单调减，；若，则在上单调增，；若，则，．综上，．⑵，，．令，则，．令得，当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以，．因为，，，，所以在和上，即各有一个零点．设在和上的零点分别为，因为在上单调减，所以当时，，单调增；当时，，单调减．因此，是的极大值点．因为，在上单调增，所以当时，，单调减，时，单调增，因此是的极小值点．所以，有唯一的极大值点．由前面的证明可知，，则．因为，所以，则又，因为，所以．因此，．22．【解析】⑴设则．解得，化为直角坐标系方程为．⑵连接，易知为正三角形．为定值．∴当高最大时，面积最大，如图，过圆心作垂线，交于点交圆于点，此时最大23．【解析】⑴由柯西不等式得：当且仅当，即时取等号．⑵∵∴∴∴∴由均值不等式可得：∴∴∴∴ 当且仅当时等号成立．