2012年陕西高考理科数学试题及答案

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2012年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)理科数学第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的).1、集合,,则()A.(1,2) B.[1,2) C.(1,2] D.[1,2]2、下列函数中,既是奇函数又是增函数的为()A. B.C.D.3、设,,是虚数单位,则“”是“复数为纯虚数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4、已知圆:,是过点(3,0)的直线,则()A.与相交B.与相切 C.与相离 D.以上三个选项均有可能5、如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱,,则直线与直线夹角的余弦值为()A.B.C.D.从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示).设甲乙两组数据的平均数分别为,,中位数分别为,,则()A.,B.,C.,D.,7、设函数,则() A.为的极大值点B.为的极小值点 C.为的极大值点D.为的极小值点两人进行乒乓球比赛,先赢3局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有() A.10种B.15种 C.20种D.30种在△中,角,,所对的边长分别为,,,若,则的最小值为()A.B.C.D.10、右图是用模拟方法估计圆周率值的程序框图,P表示估计结果,则图中空白框内应填入() A.B. C.D.第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共有5小题,每小题5分,共25分)11、观察下列不等式••••••照此规律,第五个不等式为________________________________.的展开式中的系数为10,则实数的值为_____.右图是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽______米.设函数是由轴和曲线及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则在上的最大值为____.15、(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)A.(不等式选做题)若存在实数使成立,则实数的取值范围是__________________.B.(几何证明选做题)如图,在圆中,直径与弦垂直,垂足为,,垂足为,若,,则_______.C.(坐标系与参数方程选做题)直线与圆相交的弦长为___.三.解答题:(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)。16、(本小题满分12分)函数(,)的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为.(Ⅰ)求函数的解析式;(Ⅱ)设,,求的值.17、(本小题满分12分)设是公比不为1的等比数列,其前项和为,且,,成等差数列.(Ⅰ)求数列的公比;(Ⅱ)证明:对任意,,,成等差数列.18、(本小题满分12分)(Ⅰ)如图,证明命题“是平面内的一条直线,是外的一条直线(不垂直于),是直线在上的投影,若,则”为真;(Ⅱ)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需证明).19、(本小题满分12分)已知椭圆:,椭圆以的长轴为短轴,且与有相同的离心率.(Ⅰ)求椭圆的方程.(Ⅱ)设为坐标原点,点,分别在椭圆和上,,求直线的方程.(本小题满分13分)某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间相互独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:办理业务所需的时间(分)12345频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客办理业务时计时.(Ⅰ)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;(Ⅱ)表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求的分布列及数学期望.21、(本小题满分14分)设函数(,,)(Ⅰ)设,,,证明:在区间(,1)内存在唯一零点;(Ⅱ)设,若对任意,,有,求的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,设是在(,1)内的零点,判断数列,,,,的增减性. 2012年陕西省高考理科数学试题答案一、选择题1.【解析】,,则,故选C2.【解析】选项中是奇函数的有B、C、D,增函数有A、D,故选D3.【解析】“”则或,“复数为纯虚数”则且,则“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件,故选B4.【解析】点在圆内,则必与相交,故选A5.【解析】设,则,, 则,故选A6.【解析】经计算得:甲=21.5625,乙=28.5625,甲=20,乙=29,故选B7.【解析】,,恒成立,令,则当时,,函数单调减,当时,,函数单调增,则为的极小值点,故选D8.【解析】甲赢和乙赢的可能情况是一样的,所以假设甲赢的情况如下:若两人进行3场比赛,则情况只有是甲全赢1种情况;若两人进行4场比赛,第4场比赛必为甲赢前3场任选一场乙赢为种情况;若两人进行5场比赛,第5场比赛必为甲赢前4场任选一场乙赢为种情况;综上,甲赢有10种情况,同理,乙赢有10种情况,则所有可能出现的情况共20种,故选C9.【解析】,故选C10.【解析】M表示落入扇形的点的个数,1000表示落入正方形的点的个数,则点落入扇形的概率为,由几何概型知,点落入扇形的概率为,则,故选D二.填空题:把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.【答案】【解析】观察不等式的左边发现,第n个不等式的左边=,右边=,所以第五个不等式为.12.【答案】1【解析】∵,令,则,又∵的系数为10,则,∴13.【答案】【解析】建立如图所示的直角坐标系,使拱桥的顶点O的坐标为(0,0),设l与抛物线的交点为A、B,根据题意知A(-2,-2),B(2,-2)设抛物线的解析式为,则有,∴,∴抛物线的解析式为水位下降1米,则y=-3,此时有或∴此时水面宽为米。14.【答案】2【解析】当时,,,∴曲线在点处的切线为则根据题意可画出可行域D如右图:目标函数,当,时,z取得最大值215.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)A.【答案】【解析】表示在数轴上,a到1的距离小于等于3,即,则B.【答案】5【解析】∵,则圆的半径为3,连接OD,则OD=3[来源:学+科+网]又,则OE=2在直角三角形OED中,根据射影定理,在直角三角形EDB中,C.【答案】【解析】是过点且垂直于极轴的直线,是以为圆心,1为半径的圆,则弦长=.三、解答题16.【解析】(Ⅰ)∵函数的最大值是3,∴,即。∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为,∴最小正周期,∴。故函数的解析式为。(Ⅱ)∵,即,∵,∴,∴,故。17.【解析】(1)设数列的公比为()。由成等差数列,得,即。由得,解得,(舍去),所以。(2)证法一:对任意,,所以,对任意,成等差数列。证法二:对任意,,,,因此,对任意,成等差数列。18.【解析】(Ⅰ)证法一如图,过直线上一点作平面的垂线,设直线,,,的方向向量分别是,,,,则,,共面.根据平面向量基本定理,存在实数,使得,则,因为,所以,又因为,,所以,故,从而.证法二如图,记,为直线上异于点的任意一点,过作,垂足为,则.,直线,又,平面,,平面,又平面,.(Ⅱ)逆命题为:是平面内的一条直线,是平面外的一条直线(不垂直于),是直线在上的投影,若,则.逆命题为真命题19.【解析】(Ⅰ)由已知可设椭圆的方程为,其离心率为,故,则,故椭圆的方程为(Ⅱ)解法一两点的坐标分别为,由及(Ⅰ)知,三点共线且点不在轴上,因此可设直线的方程为.将代入中,得,所以,将代入中,得,所以,又由,得,即,解得,故直线的方程为或解法二两点的坐标分别为,由及(Ⅰ)知,三点共线且点不在轴上,因此可设直线的方程为.将代入中,得,所以,又由,得,,将代入中,得,即,解得,故直线的方程为或20.【解析】设Y表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,的Y的分布如下:Y12345P0.10.40.30.10.1A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,则时间A对应三种情形:一个谷歌办理业务所需时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟。所以(2)解法一:X所有可能的取值为:0,1,2.X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以;X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟,所以=;X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟,所以;所以X的分布列为X012P0.50.490.01.解法二:X所有可能的取值为0,1,2.X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以;X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟,所以;;所以X的分布列为X012P0.50.490.01。21.【解析】(1)。又当(2)当n=2时,对任意上的最大值与最小值之差,据此分类讨论如下:(Ⅰ)。(Ⅱ)。(Ⅲ)。综上可知,。注:(Ⅱ)(Ⅲ)也可合并并证明如下:用当(3)证法一:设,于是有,又由(1)知,所以,数列证法二:设,,则所以,数列

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