2008年陕西高考理科数学试题及答案

2008年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学（必修+选修Ⅱ）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．HYPERLINKhttp://www.mathschina.com1．复数等于（）A． B． C．1 D．2．已知全集，集合，，则集合中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4HYPERLINKhttp://www.mathschina.com3．的内角的对边分别为，若，则等于（）A． B．2 C． D．4．已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于（）A．64 B．100 C．110 D．120HYPERLINKhttp://www.mathschina.com5．直线与圆相切，则实数等于（）A．或 B．或 C．或 D．或6．“”是“对任意的正数，”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件HYPERLINKhttp://www.mathschina.com7．已知函数，是的反函数，若（），则的值为（）A． B．1 C．4 D．108．双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．HYPERLINKhttp://www.mathschina.com9．如图，到的距离分别是和，与所成的角分别是和，在内的射影分别是和，若，则（）ABablA． B．C． D．10．已知实数满足如果目标函数的最小值为，则实数等于（）A．7 B．5 C．4 D．3HYPERLINKhttp://www.mathschina.com11．定义在上的函数满足（），，则等于（）A．2 B．3 C．6 D．912．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为（），传输信息为，其中，运算规则为：，，，，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）．HYPERLINKhttp://www.mathschina.com13．，则．14．长方体的各顶点都在球的球面上，其中．两点的球面距离记为，两点的球面距离记为，则的值为．HYPERLINKhttp://www.mathschina.com15．关于平面向量．有下列三个命题：①若，则．②若，，则．③非零向量和满足，则与的夹角为．其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）16．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有种．（用数字作答）．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）HYPERLINKhttp://www.mathschina.com17．（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．18．（本小题满分12分）某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第次击中目标得分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；（Ⅱ）该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望．HYPERLINKhttp://www.mathschina.com19．（本小题满分12分）三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，，平面，，，，，．A1AC1B1BDC（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求二面角的大小．20．（本小题满分12分）已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．HYPERLINKhttp://www.mathschina.com21．（本小题满分12分）已知函数（且，）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是．（Ⅰ）求函数的另一个极值点；（Ⅱ）求函数的极大值和极小值，并求时的取值范围．22．（本小题满分14分）已知数列的首项，，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）证明：对任意的，，；（Ⅲ）证明：．2008年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案一、1．D2．B3．D4．B5．C6．A7．A8．B9．D10．B11．C12．C二、13．114．15．②16．96三、17．解：（Ⅰ）．的最小正周期．当时，取得最小值；当时，取得最大值2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又．．．函数是偶函数．18．（Ⅰ）设该射手第次击中目标的事件为，则，．（Ⅱ）可能取的值为0，1，2，3．的分布列为01230.0080.0320.160.8.19．解法一：（Ⅰ）平面平面，．在中，，，，又，，，即．又，平面，平面，平面平面．（Ⅱ）如图，作交于点，连接，A1AC1B1BDCFE（第19题，解法一）由已知得平面．是在面内的射影．由三垂线定理知，为二面角的平面角．过作交于点，则，，．在中，．A1AC1B1BDCzyx（第19题，解法二）在中，．，即二面角为．解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，则，，．点坐标为．，．，，，，又，平面，又平面，平面平面．（Ⅱ）平面，取为平面的法向量，设平面的法向量为，则．，如图，可取，则，，即二面角为．20．解法一：（Ⅰ）如图，设，，把代入得，xAy112MNBO由韦达定理得，，，点的坐标为．设抛物线在点处的切线的方程为，将代入上式得，直线与抛物线相切，，．即．（Ⅱ）假设存在实数，使，则，又是的中点，．由（Ⅰ）知．轴，．又．，解得．即存在，使．解法二：（Ⅰ）如图，设，把代入得．由韦达定理得．，点的坐标为．，，抛物线在点处的切线的斜率为，．（Ⅱ）假设存在实数，使．由（Ⅰ）知，则，，，解得．即存在，使．21．解：（Ⅰ），由题意知，即得，（*），．由得，由韦达定理知另一个极值点为（或）．（Ⅱ）由（*）式得，即．当时，；当时，．（i）当时，在和内是减函数，在内是增函数．，，由及，解得．（ii）当时，在和内是增函数，在内是减函数．，恒成立．综上可知，所求的取值范围为．22．解法一：（Ⅰ），，，又，是以为首项，为公比的等比数列．，．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，原不等式成立．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的，有．取，则．原不等式成立．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设，则，当时，；当时，，当时，取得最大值．原不等式成立．（Ⅲ）同解法一．B卷选择题答案：1．D2．C3．A4．B5．C6．A7．D8．C9．C10．B11．B12．D