2023-2024学年八年级数学上学期期中专题07 最短路径问题（解析版）（人教版）

专题07最短路径问题两条线段之和1．如图，点A、B在直线的同一侧．(1)如图①，在直线上找一点P，使得（尺规作图，保留作图痕迹）    (2)如图②，请借助三角尺和刻度尺在直线上找一点Q，使得最短．  【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接，作的垂直平分线，与直线l交于点P；（2）利用工具作出点A关于直线l的垂线并延长，使得，连接，与直线l交于点Q．【详解】（1）解：如图，点P即为所求；  （2）如图，点Q即为所求．  【点睛】本题考查了垂直平分线的作法和性质，最短路径问题，解题的关键是理解知识点，掌握相应的作图方法．2．如图，在中，的垂直平分线分别交边于点、，点为上一动点，则的最小值是以下哪条线段的长度（   ）    A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质得到，求得，得到的最小值的最小值，于是得到当时，的值最小，即的值最小，即可得到结论．【详解】解：连接，是线段的垂直平分线，，，的最小值的最小值，，当时，的值最小，即的值最小，的最小值是线段的长度，故选：C．  【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，三角形的三边关系，熟知线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．3．如图，在中，AB=AC=7，AD=8.3，点E在AD上，CE=CB，CF平分∠BCE交AD于点F．点P是线段CF上一动点，则EP＋AP的最小值为（ ）  A．6 B．7 C．7.5 D．8.3【答案】B【分析】连接，由得，，根据知，当点在线段上时，的最小值是，问题得解．【详解】解：连接，平分交于点，，，，，且，当点在线段上时，的最小值是，，的最小值为7．故选：  【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，两点之间线段最短，其中准确作出点关于对称轴对称的对称点是解题的关键．4．如图，的面积是，最长边，平分，点M，N分别是，上的动点，则的最小值为．【答案】10【分析】过点C作于点E，交AD于点M，过点M作于N，则CE的长即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长即可．【详解】解：过点C作于点E，交AD于点M，过点M作于N，平分，于点E，于N，，，根据垂线段最短可知，CE的长即为的最小值，的面积是，最长边，，，即的最小值为10．故答案为：10．【点睛】本题考查轴对称——最短路径问题，关键是根据垂线段最短将的最小值转化为CE．5．如图，在等腰中，，，作于点D，，点E为边上的中点，点P为上一动点，则的最小值为．  【答案】【分析】作点关于的对称点，延长至，使，连接，交于，此时的值最小，就是的长，证明即可．【详解】解：作点关于的对称点，延长至，使，连接，交于，此时的值最小，就是的长，  ，，，，，，，，是等边三角形，点E为边上的中点，，，即的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了轴对称，最短路径问题和直角三角形的性质，解题的关键是根据轴对称的性质作出对称点，掌握线段垂直平分线的性质和等边三角形的性质与判定的灵活运用．6．如图，等边和等边的边长都是4，点在同一条直线上，点P在线段上，则的最小值为．【答案】8【分析】连接，根据和都是边长为4的等边三角形，证明，可得，所以，进而可得当点P与点C重合时，的值最小，正好等于的长，即可求解．【详解】解：如图，连接，∵和都是边长为4的等边三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴当点P与点C重合时，点A与点关于对称，的值最小，正好等于的长，∴的最小值为，故答案为：8．【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题、全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．周长之和7．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（    ）  A．12 B．8 C．10 D．20【答案】C【分析】连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接，  ∵是等腰三角形，点D是边的中点，∴，，∴，解得，∵是线段的垂直平分线，∴点C关于直线的对称点为点A，∴的长为的最小值，∴周长的最小值为．故选：C．【点睛】本题考查的是轴对称——最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．8．如图，边长为的等边中，是上中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（    ）  A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意等边三角形性质和全等三角形判定得出，进而作点A关于直线的对称点M，连接交于E，此时的值最小，最后依据周长的最小值求值即可得出答案．【详解】解：如图，  ∵都是等边三角形，∴∴∴∴∵∴∴点E在射线上运动()，作点A关于直线的对称点M，连接交于，此时的值最小，∵∴是等边三角形，∴∵∴∴周长的最小值．故选：B．【点睛】本题考查轴对称最短路径问题和等边三角形的性质和判定以及全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用轴对称性质得出的值最小．角度问题9．如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点M、N，使得的周长最小，则的度数为（ ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，A关于和的对称点，，即可得出，进而得出即可得出答案．【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，，交于M，交于N，则，即为的周长最小值．作延长线，  ∵，∴，∴，∵，，且，，∴，故选：C．【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．110．如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当最小时，则α与β的数量关系为．【答案】【分析】作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于P，交于Q，则最小，易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．【详解】解：如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于P，交于Q，则最小，∴，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查轴对称—最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．11．如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接，．当的值最小时，的度数为度．【答案】【分析】如图，作B关于的对称点D，连接，的值最小，则交于P，由轴对称易证，结合证得是等边三角形，可得，结合已知根据等腰三角形性质可求出，即可解决问题．【详解】如图，作B关于的对称点D，连接，的值最小，则交于P，由轴对称可知：，，，，，是等边三角形，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查等边三角形判定和性质、轴对称的性质、最短路径问题、等腰三角形的性质；熟练掌握相关性质的联系与运用，会利用最短路径解决最值问题是解答的关键．12．如图，在三角形中，，，于D，M，N分别是线段，上的动点，，当最小时，．【答案】【分析】在下方作，使，连接，则最小值为，此时A、N、三点在同一直线上，推出，所以，即可得到．【详解】解：在下方作，使，连接．则，．∴，即最小值为，此时A、N、三点在同一直线上．∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了最短路线问题以及等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．13．如图，点，且a，b满足．若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角（P为顶点），连接．(1)如图1，直接写出点A的坐标为___________，点B的坐标为___________；(2)如图2，当点P在点O，A之间时，连接，，证明；(3)如图3，点P在x轴上运动过程中，若所在直线与y轴交于点F，请直接写出F点的坐标为___________，当的值最小时，请直接写出此时与之间的数量关系___________．【答案】(1)，(2)见解析(3)，【分析】（1）根据非负数的性质得到，，得到，，于是得到结果；（2）过点作轴于，证明，由全等三角形的性质得出，，由等腰直角三角形的性质得出，证出，则可得出结论；（3）由直角三角形的性质证出，则可得出；取点，连接，，与关于直线对称，连接交于，连接，则，根据三角形的面积关系可得出．【详解】（1）解：，，，，，、，故答案为：，；（2）证明：过点作轴于，是等腰直角三角形，，，，，，又，，，，，，，又，，，，，，；（3），，，，，，，，；取点，连接，，，，与关于直线对称，连接交于，连接，则，此时最小，，到，的距离相等，，，，，．故答案为：，．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．14．如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点．  (1)______，______度；(2)当四边形为轴对称图形时，求的长；(3)若是等腰三角形，求的度数；(4)若点在线段上，连接、，直接写出的值最小时的长度．【答案】(1)4；45(2)(3)或或(4)2【分析】（1）根据题意可得，则，即可求得AE的长，再根据平分，即可求得的度数；（2）根据轴对称图形的性质可得答案；（3）根据题意可得，分三种情况：，，，再结合三角形内角和定理即可求解；（4）过点M作，点P关于CD的对称点，根据题意可得，，根据，可得，则，，因此，以此得点E，M，三点共线时，的值最小，此时，最后根据解含30度角的直角三角形即可得到结果．【详解】（1）解：，，，，点是边的中点，平分，，故答案为：4；45．（2）∵四边形为轴对称图形，平分，∴对称轴为直线，∴．（3）∵平分，，∴．当时，，∴；当时，；当时，．综上所述，的度数为或或．（4）如图，点M在上，且，作点P关于的对称点，     ，，平分，，在和中，，，，当点E，M，三点共线时，的值最小，又根据垂线段最短，当时，有最小值，，，，，．【点睛】本题主要考查轴对称——最短路径问题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，角平分线的性质，本题综合性较强，作出辅助线，找到最短路径是解题关键．