2023-2024学年八年级数学上学期期中专题02 利用勾股定理求最值（北师大版）（解析版）

专题02利用勾股定理求最值折叠问题求最值1.（2023·浙江宁波·校联考一模）如图，在中，，，，为上一点，将沿折叠，使点恰好落在边上，则折痕的长是（ ）A．5 B． C． D．【答案】C【分析】由勾股定理得，根据折叠的性质，得到，，，设，利用勾股定理列方程，解得，再利用勾股定理，即可求出折痕的长．【详解】解：如图，将沿折叠，点恰好落在边上处，，，，，由折叠的性质可知，，，，，，设，则，在中，，，解得：，即，在中，，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，解方程，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题关键．2．（2023春·湖南永州·八年级校考阶段练习）如图，折叠长方形的一边使点D落在边的点F处，已知，，则EC的长为．  【答案】3【详解】解：设EC的长为，则，折叠后的图形是，，，，，，又，在中，根据勾股定理，得，，，，在中，根据勾股定理，得：，，即，化简，得，．即EC的长为，【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，解方程，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题关键．3．（2023春·重庆江津·八年级重庆市江津中学校校考阶段练习）如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点，若，，则的长为    【答案】【分析】首先根据矩形的性质得出，，，然后根据平行线的性质及等量代换得出，则，然后根据折叠的性质得出，进而求出BC，然后利用勾股定理求出进而求出，从而答案可求．【详解】∵四边形是矩形，∴，，，∴，由折叠得，，∴，∴，由折叠得，，，∴，在中，，在中，，答案为：．【点睛】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质和勾股定理，掌握折叠和矩形的性质及勾股定理是关键．4．（2022秋·河北邢台·八年级月考）如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点落在直角边的延长线上的点处，折痕为，则的长为．  【答案】【分析】勾股定理求出的长，折叠得到，利用即可得解．【解析】解：∵，，，∴，∵翻折，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理和折叠问题．熟练掌握折叠的性质，是解题的关键．5．（2023春·北京怀柔·八年级统考期末）如图，在中，，，，为的平分线，将沿向上翻折得到，使点在射线上，则的长为（     ）  A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵在中，，，，∴，∵将沿向上翻折得到，使点在射线上，∴，设，则，，在中，，即，解得：即的长为，【点睛】本题考查勾股定理和折叠问题．熟练掌握折叠的性质，是解题的关键．6．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在中，，，，将边沿翻折，点B落在点F处，连接交于点D，则的最大值为（ ）  A． B． C． D．【答案】D【分析】根据将边沿翻折，点B落在点F处，可得，即知当最小时，最大，此时，用面积法求出，即可得到答案．【详解】解：如图：  ∵将边沿翻折，点B落在点F处，∴，∴，当最小时，最大，此时，∵，，，∴，∵，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查直角三角形中的翻折问题，涉及勾股定理及应用，解题的关键是掌握翻折的性质．7．（2022秋·河北张家口·八年级统考期中）在中，，点分别在边上（不与端点重合）．将沿折叠，点A落在的位置．  (1)如图①，当与点重合且．①直接写出的长；②求的面积．(2)当．①与点在直线的异侧时．如图②，直接写出的大小；②与点在直线的同侧时，且的一边与平行，直接写出的度数．【答案】(1)①4；②(2)①；②的度数分别为，【分析】（1）①直接根据勾股定理即可求出的长；②设，则，根据勾股定理求出x的值，再根据三角形面积公式即可求解；（2）①根据三角形的外角定理可得，，即可求解；②根据题意进行分类讨论：当时，当时，即可进行解答．【详解】（1）解：①在中，由勾股定理得，，②设，则，∵将沿折叠，点A落在的位置，∴，在中，由勾股定理得，，解得：∴．（2）解：①∵将沿折叠，点A落在的位置，，∴，∴，∵，∴，∴；  ②当时，如图：∵，，∴，∵由折叠所得，∴；  当时，如图：∵，，∴，∵由折叠所得，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴．  综上：的度数分别为，．【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形那个的内角和定理，折叠的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握勾股定理内容，根据勾股定理建立方程求边的长度；掌握三角形是内角和为，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，平行线的性质．台阶相关题型求最值1．（2023春·山西吕梁·八年级统考期中）如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，米，米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（  ）  A．65 B．85 C．90 D．150【答案】B【分析】勾股定理求出，平移的性质推出防滑毯的长为，利用面积公式进行求解即可．【详解】解：由图可知：，∵米，米，∴米，由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度（米），铅直的防滑毯的长度（米），∴至少需防滑毯的长为：（米），∵防滑毯宽为5米∴至少需防滑毯的面积为：（平方米）．故选：．【点睛】本题考查勾股定理．解题的关键是利用平移，将防滑毯的长转化为两条直角边的边长之和．2．（2023春·河南驻马店·八年级统考期中）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要元．  【答案】1020【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的和，在直角中，根据勾股定理即可求得的长，地毯的长与宽和积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解．【详解】解：由勾股定理得：，则地毯总长为，则地毯的总面积为，铺完这个楼道至少需要（元）．故填：．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键．3．（2022春•信丰县校级期末）如图，要为一段高为6米，长为10米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要 米长．【答案】14【分析】地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可．【解答】解：根据勾股定理，可得楼梯水平长度为＝8米，则红地毯至少要8+6＝14米．故答案为：14．【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求得直角边的长是解决问题的关键．4.（2023春·八年级课时练习）如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（    ）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从A点到C点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．【详解】解：将台阶展开，如图，因为DC=AE+BE=3+1=4，AD=2，所以AC2=DC2+AD2=20，所以AC=，故选：D．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长方形的长和宽是解题的关键．5．（2023春·八年级课时练习）如图，在一个长AB为18m，宽AD为7m的长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块，已知木块的较长边与AD平行，横截是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是   米．【答案】【分析】解答此题要将木块表面展开，再构建直角三角形，然后根据两点之间线段最短，再利用勾股定理进行解答．【详解】解：如图，由题意可知，将木块展开，展开图的长相当于是AB+2个正方形的宽，∴长为18+2×2=22米；宽为7米．于是最短路径为：（米）．故答案为：．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，两点之间线段最短的性质，勾股定理的应用，有一定的难度，要注意培养空间想象能力．蚂蚁爬行问题求最值1．（2023春·山东济宁·八年级统考阶段练习）如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形一只蚂蚁从顶点开始爬向顶点，那么它爬行的最短路程为（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：①如图，将长方体的正面和上面展开在同一平面内，则AD=6dm，BD=6+9=15dm，；②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内，AC=6+6=12dm，BC=9dm，；③将长方体的上面和左面展开在同一平面内，则DE=6dm，BE=6+9=15dm，；∵，所以蚂蚁爬行的最短路程为15dm．【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求得直角边的长是解决问题的关键．2．（2023•贵阳）如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝，高BC＝12cm，P为BC的中点，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬到点的最短距离为 A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm【答案】B【分析】把圆柱的侧面展开，连接，利用勾股定理即可得出的长，即蚂蚁从点爬到点的最短距离．【解析】解：如图：展开后线段的长度是圆柱中半圆的周长，圆柱底面直径、高，为的中点，，在中，，蚂蚁从点爬到点的最短距离为，故选：．【点睛】本题考查的是平面展开最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．3．（2023•广安）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为 cm．（杯壁厚度不计）【答案】10【分析】利用展开图构造勾股定理的模型进行求解。【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作B关于EF的对称点B′，连接B′A，则B′A即为最短距离，B′A＝＝＝10（cm）．故答案为：10．【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求得直角边的长是解决问题的关键．4．（2022秋·重庆南岸·八年级校联考期中）如图1，一只蚂蚁要从圆柱的下底面的点A爬到上底面的点B处，求它爬行的最短距离.已知圆柱底面半径为R，高度为h.小明同学在研究这个问题时，提出了两种可供选择的方案，方案1：沿ACB爬行；方案2：沿圆柱侧面展开图的线段AB爬行，如图2.（取3）  (1)当，时，哪种方式的爬行距离更近？(2)当，时，哪种方式的爬行距离更近？(3)当与满足什么条件时，两种方式的爬行距离同样远？【答案】(1)方案2爬行距离更近(2)方案1爬行距离更近(3)，两种方式的爬行距离同样远【分析】利用展开图构造勾股定理的模型进行求解。【详解】（1）方案1：爬行距离，方案：爬行距离=，∴方案爬行距离更近；（2）方案1：爬行距离，方案2：爬行距离，∴方案爬行距离更近；（3）根据题意得，解得：∴，两种方式的爬行距离同样远．【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求得直角边的长是解决问题的关键．汽车是否超速及是否受台风影响问题1.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）【答案】这辆小汽车超速了【分析】根据勾股定理求出BC的长度，利用速度公式求出小汽车的速度，与给定条件进行比较即可求得。【解析】解：在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m；据勾股定理可得：（m）∴小汽车的速度为v==20（m/s）=20×3.6（km/h）=72（km/h）；∵72（km/h）＞70（km/h）；∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求得直角边的长是解决问题的关键．2．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图第4号台风“黑格比”的中心于2020年8月5日下午位于浙江省绍兴市境内的B处，最大风力有9级（23m/s），中心最低气压为990百帕，台风中心沿东北（BC）方向以25km/h的速度向D移动在距离B地250km的正北方有一A地，已知A地到BC的距离AD＝70km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心70km的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几个小时内撤离才可脱离危险？【答案】台风中心经过小时从B点移到D点，在接