2023-2024学年八年级数学上学期期中专题04 全等三角形模型训练(原卷版)(人教版)

2023-11-10 · U1 上传 · 14页 · 1.8 M

专题04全等三角形模型训练一线三等角模型1.如图,在四边形中,,,点是上一点,连接、,若,,则的长为.    2.在中,,,直线经过点C,且于D,于E.  (1)当直线绕点C旋转到图(1)的位置时,求证:①;②;(2)当直线绕点C旋转到图(2)的位置时,求证:;(3)当直线绕点C旋转到图(3)的位置时,请直接写出,,之间的等量关系.3.综合与实践数学活动课上,老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究.(1)操作发现:如图甲,在中,,且,直线l经过点A.小华分别过B、C两点作直线l的垂线,垂足分别为点D、E.易证,此时,线段、、的数量关系为:;(2)拓展应用:如图乙,为等腰直角三角形,,已知点C的坐标为,点B的坐标为.请利用小华的发现直接写出点A的坐标:;(3)迁移探究:①如图丙,小华又作了一个等腰,,且,她在直线l上取两点D、E,使得,请你帮助小华判断(1)中线段、、的数量关系是否变化,若不变,请证明;若变化,写出它们的关系式并说明理由;②如图丁,中,,,点D、E在直线上,且,请直接写出线段、、的数量关系.手拉手模型4.如图,是一个锐角三角形,分别以、为边向外作等边三角形、,连接、交于点,连接.(1)求证:≌;(2)求的度数;(3)求证:平分.5.在中,,点是直线上一点(不与、重合),把线路绕着点逆时针旋转至(即),使得,连接、.(1)如图1,点在线段上,如果,则__________度.  (2)如图2,当点在线段上,如果,则__________度.  (3)如图3,设,,当点在线段上移动时,,的数量关系是什么?请说明理由.  (4)设,,当点在直线上移动时,请直接写出,的数量关系,不用证明.6.如图1,在等腰直角三角形中,,,点、分别在边、上,,连接,点、、分别为、、的中点.  (1)观察猜想:图1中,线段与的数量关系是__________,的大小是__________;(2)探究证明:把绕点顺时针方向旋转到图2的位置,连接、、,判断的形状,试说明理由;(3)拓展延伸:把绕点在平面内自由旋转,若,,请直接写出面积的最大值.半角模型7.(1)如图1,在四边形中,,,E、F分别是边、上的点,若,可求得、、之间的数量关系为________.(只思考解题思路,完成填空即可,不必书写证明过程)(2)如图2,在四边形中,,,E、F分别是边、延长线上的点,若,判断、、之间的数量关系还成立吗,若成立,请完成证明,若不成立,请说明理由.8.已知:边长为4的正方形ABCD,∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F,且∠EAF=45°,连接EF.求证:EF=BE+DF.思路分析:(1)如图1,∵正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠B=∠ADC=90°,∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE',则F、D、E'在一条直线上,∠E'AF= 度,……根据定理,可证:△AEF≌△AE'F.∴EF=BE+DF.类比探究:(2)如图2,当点E在线段CB的延长线上,探究EF、BE、DF之间存在的数量关系,并写出证明过程;拓展应用:(3)如图3,在△ABC中,AB=AC,D、E在BC上,∠BAC=2∠DAE.若S△ABC=14,S△ADE=6,求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积.9.问题情境在等边△ABC的两边AB,AC上分别有两点M,N,点D为△ABC外一点,且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC.特例探究如图1,当DM=DN时,(1)∠MDB= 度;(2)MN与BM,NC之间的数量关系为 ;归纳证明(3)如图2,当DM≠DN时,在NC的延长线上取点E,使CE=BM,连接DE,猜想MN与BM,NC之间的数量关系,并加以证明.拓展应用(4)△AMN的周长与△ABC的周长的比为 .旋转模型10.已知点C为线段上一点,分别以为边在线段AB同侧作和,且.,,直线与交于点F.  (1)如图1,可得___________;若,则___________.(2)如图2,若,则___________.(用含a的式子表示)(3)设,将图2中的绕点C顺时针旋转任意角度(交点F至少在中的一条线段上),如图3.试探究与a的数量关系,并予以说明.11.如图1,在等腰中,,,点是线段的中点,将线段绕点顺时针旋转得到,连接.(1)如图2,若,其他条件不变,先补全图形,然后探究线段和之间的数量关系______(直接写结论,不必说明理由)(2)如图3,若,其他条件不变,探究线段、和之间的等量关系,并说明理由.(3)如图4,若,其他条件不变,探究线段、和之间的等量关系为______.倍长中线模型12.如图,,,,,点M为的中点,,.13.如图,中,于点,,点在上,,连接.(1)求证:;(2)延长交于点,连接,求的度数;(3)过点作,,连接交于点,若,,直接写出的面积.14.小明遇到这样一个问题,如图1,中,,,点为的中点,求的取值范围.小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题,所谓倍长中线法,就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法,他的做法是:如图2,延长到,使,连接,构造,经过推理和计算使问题得到解决.请回答:(1)小明证明用到的判定定理是:(用字母表示);(2)的取值范围是;(3)小明还发现:倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍,完成全等三角形模型的构造.参考小明思考问题的方法,解决问题:如图3,在中,为边上的中线,且平分,求证:.截长补短模型15.已知:如图,中,E在上,D在上,过E作于F,,,,则的长为.16.如图,在锐角中,,点D,E分别是边上一动点,连接BE交直线于点F.(1)如图1,若,且,求的度数;(2)如图2,若,且,在平面内将线段绕点C顺时针方向旋转60°得到线段,连接,点N是的中点,连接.在点D,E运动过程中,猜想线段之间存在的数量关系,并证明你的猜想.17.如图,在四边形中,与交于点,平分,平分,.  (1)求的度数;(2)求证:.18.课堂上,老师提出了这样一个问题:如图1,在中,平分交于点D,且,求证:,小明的方法是:如图2,在上截取,使,连接,构造全等三角形来证明.(1)小天提出,如果把小明的方法叫做“截长法”,那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明.辅助线的画法是:延长至F,使=______,连接请补全小天提出的辅助线的画法,并在图1中画出相应的辅助线;(2)小芸通过探究,将老师所给的问题做了进一步的拓展,给同学们提出了如下的问题:如图3,点D在的内部,分别平分,且.求证:.请你解答小芸提出的这个问题(书写证明过程);(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换,得到的命题如下:如果在中,,点D在边上,,那么平分小东判断这个命题也是真命题,老师说小东的判断是正确的.请你利用图4对这个命题进行证明.19.【初步探索】  (1)如图1,在四边形中,,,、分别是、上的点,且,探究图中、、之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是:延长到点,使.连接,先证明,再证明,可得出结论,他的结论应是;【灵活运用】(2)如图2,若在四边形中,,.、分别是、上的点,且,上述结论是否仍然成立,并说明理由;【拓展延伸】(3)如图3,已知在四边形中,,,若点在的延长线上,点在的延长线上,如图3所示,仍然满足,请写出与的数量关系,并给出证明过程.20.(1)阅读理解:如图1,在中,若,.求边上的中线的取值范围,小聪同学是这样思考的:延长至,使,连接.利用全等将边转化到,在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围,在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是___________,中线的取值范围是___________;(2)问题解决:如图2,在中,点是的中点,.交于点,交于点.求证:;(3)问题拓展:如图3,在中,点是的中点,分别以为直角边向外作和,其中,,,连接,请你探索与的数量与位置关系,并直接写出与的关系.21.在中,,为延长线上一点,点为线段,的垂直平分线的交点,连接,,.(1)如图1,当时,则______°;(2)当时,①如图2,连接,判断的形状,并证明;②如图3,直线与交于点,满足.为直线上一动点.当的值最大时,用等式表示,与之间的数量关系为______,并证明.

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