2023-2024学年八年级数学上学期期中专题06 勾股定理(原卷版)

2023-11-10 · U1 上传 · 14页 · 1 M

专题06勾股定理勾股定理——面积问题1.(2022·宿迁期中)如图,、、分别是以的三边为直径所画半圆的面积,其中,,则 .2.(2022·连云港期中)如图,在四边形中,,分别以四边形的四条边为边长,向外作四个正方形,面积分别为,,和.若,,,则的值是 .3.(2022·扬州期中)如图,所有阴影部分四边形都是正方形,所有三角形都是直角三角形,若正方形、、的面积依次为4、6、20,则正方形的面积为 .4.(2022·镇江期中)如图,在中,,分别以、、为边向上作正方形,已知的面积为5,则图中阴影部分面积之和为 .勾股定理——距离问题5.(2022·南京期中)如图,在中,,,,则点到的距离是 A.10 B.11 C.12 D.136.(2022·南通期中)如图,网格中的每个小正方形的边长为1,的顶点、、均在网格的格点上,于点,则的长为 A. B. C. D.7.(2022·无锡期中)(1)如图,,已知中,,,的顶点、分别在边、上,当点在边上运动时,点随之在边上运动,的形状保持不变,在运动过程中,点到点的最大距离为 .A.5 B.6 C.7 D.8(2)如图,,动点和分别在射线、上运动,且,作,且.在运动过程中,的最大距离是 A. B. C. D.勾股定理——折叠问题8.(2022·常州期中)如图,在矩形中,,.点是边上一点,沿翻折,点恰好落在边上点处,则的长是 A. B. C. D.39.(2022·盐城期中)如图,把四边形纸片分别沿和折叠,恰好使得点和点、点和点重合,在折叠成的新四边形中,,,,则的面积是 .勾股定理——特殊三角形的存在性问题210.(2022·苏州期中)如图,在中,,为边上一点,且,,,点是边上的动点,连接.(1)求的长;(2)当是直角三角形时,求的长.11.(2022·盐城期中)如图,中,,,,若点从点出发,以每秒的速度沿折线运动,设运动时间为秒.(1)若点在上,且满足时,求出此时的值;(2)若点恰好在的角平分线上,求的值.12.(2022·常州期中)如图,在中,,,,动点从点出发沿射线以的速度移动,设运动的时间为秒.(1)求边的长;(2)当为直角三角形时,求的值;(3)当为等腰三角形时,求的值.勾股定理的证明(含以弦图为背景的计算)13.(2022·苏州期中)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲,如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形较长直角边长为,较短直角边长为,若,大正方形的面积为13,则小正方形的面积为 A.3 B.4 C.5 D.614.(2022·无锡期中)如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案,已知大正方形面积为81,小正方形面积为16,若用,表示直角三角形的两直角边,请观察图案,指出以下关系式中不正确的是 A. B. C. D.15.(2022·常州期中)操作与探究(1)图1是由有20个边长为1的正方形组成的,把它按图1的分割方法分割成5部分后可拼接成一个大正方形(内部的粗实线表示分割线),请你在图2的网格中画出拼接成的大正方形.(2)如果(1)中分割成的直角三角形两直角边分别为,,斜边为.请你利用图2中拼成的大正方形证明勾股定理.(3)应用:测量旗杆的高度校园内有一旗杆,小希想知道旗杆的高度,经观察发现从顶端垂下一根拉绳,于是他测出了下列数据:①测得拉绳垂到地面后,多出的长度为0.5米;②他在距离旗杆4米的地方拉直绳子,拉绳的下端恰好距离地面0.5米.请你根据所测得的数据设计可行性方案,解决这一问题.(画出示意图并计算出这根旗杆的高度)16.(2022·扬州期中)著名的赵爽弦图(如图①,其中四个直角三角形较大的直角边长都为,较小的直角边长都为,斜边长都为c),大正方形的面积可以表示为),也可以表示为,由此推导出重要的勾股定理:如果直角三角形两条直角边长为,,斜边长为,则.(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”,请你利用图②推导勾股定理.(2)如图③,在一条东西走向河流的一侧有一村庄,河边原有两个取水点,,其中,由于某种原因,由到的路现在已经不通,该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点、、在同一条直线上),并新修一条路,且.测得千米,千米,求新路比原路少多少千米?(3)在第(2)问中若时,,,,,设,求的值.勾股数17.(2022·苏州期中)以下数组中,其中是勾股数的是 A.2.5,6,6.5 B.9,40,41 C.1,,1 D.2,3,418.(2022·连云港期中)如果正整数、、满足等式,那么正整数、、叫做勾股数,某同学将自己探究勾股数的过程列成下表,观察表中每列数的规律,可知的值为 A.47 B.62 C.79 D.9819.(2022·南通期中)阅读理解:如果一个正整数能表示为两个正整数,的平方和,即,那么称为广义勾股数,则下面的四个结论:①7不是广义勾股数;②13是广义勾股数;③两个广义勾股数的和是广义勾股数;④两个广义勾股数的积是广义勾股数.依次正确的是 A.②④ B.①②④ C.①② D.①④20.(2022·扬州期中)同学们都知道,凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数,称之为“勾股数”.比如3,4,5或11,60,61等.(1)请你写出另外两组勾股数:6, , ;7, , ;(2)清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则,其中有两个法则如下:(Ⅰ)如果是大于1的奇数,那么,,是一组勾股数(Ⅱ)如果是大于2的偶数,那么,,是一组勾股数①如果在一组勾股数中,其中有一个数为12,根据法则(Ⅰ)求出另外两个数;②请证明两个法则的正确性.勾股定理的逆定理——直角三角形的判定21.(2022·泰州期中·改编)下列各组线段能构成直角三角形的一组是 A.5cm,9cm,12cm B.7cm,12cm,13cm C.20cm,60cm,20cm D.3cm,4cm,6cm22.(2022·常州期中)如图,在由单位正方形组成的网格图中标有、、、四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是 A.,, B.,, C.,, D.,,23.(2022·无锡/盐城期中)以下四组代数式作为的三边,能使为直角三角形的有 ①,,为正整数);②,,为正整数);③,,,为正整数);④,,,,为正整数).A.1组 B.2组 C.3组 D.4组24.(2022·泰州期中)如图,,垂足为,且,.点从点沿射线向右以2个单位秒的速度匀速运动,为的中点,连接、,设点运动的时间为.(1)当为何值时,;(2)当时,判断的形状,并说明理由.勾股定理的逆定理——直角三角形的判定与性质25.(2022·常州期中)如图,在中,,,,为边上一动点,于,于,则的取值范围为 A. B. C. D.26.(2022·无锡期中)如图所示的网格是正方形网格,则 .(点,,,,是网格线交点)27.(2022·常州期中)如图,正方形网格中每一个小正方形的边长为1,小正方形的顶点为格点,点,,为格点,点为与网格线的交点,则 .28.(2022·镇江期中)如图,已知在中,,,,为边上一个动点,连接,,分别交、于点、,垂足为,点为的中点,若四边形的面积为18,则的最大值为 .29.(2022·宿迁期中)如图,四边形中,,,,,,求四边形的面积.30.(2022·南京期中)如图,在中,边上的垂直平分线与、分别交于点、,且.(1)求证:;(2)若,,求的长.勾股定理的实际应用31.如图所示,一圆柱高,底面半径为,一只蚂蚁从点爬到点处吃食,要爬行的最短路程(π取3)是 A. B. C. D.无法确定32.(2022·南京/无锡/常州/南通期中)在《九章算术》中有一个问题(如图):今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?它的意思是:一根竹子原高一丈(10尺),中部一处折断,竹梢触地面处离竹根3尺,试问折断处离地面 尺.33.(2022·常州/苏州/淮安期中)将一根的筷子置于底面直径为,高为的圆柱形水杯中,如图所示,设筷子露在杯子外面的长度为,则的取值范围是 .34.(2022·南通期中)如图,在笔直的高速路旁边有、两个村庄,村庄到公路的距离,村庄到公路的距离,测得、两点的距离为,现要在之间建一个服务区,使得、两村庄到服务区的距离相等,求的长.35.(2022·盐城期中)一架长2.5米的梯子如图所示斜靠在一面墙上,这时梯足离墙底的距离为0.7米.(1)求此时梯顶距地面的高度;(2)如果梯顶下滑0.9米,那么梯足在水平方向,向右滑动了多少米?36.(2022·淮安期中)森林火灾是一种常见的自然灾害,危害很大,随着中国科技、经济的不断发展,开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图,有一台救火飞机沿东西方向,由点飞向点,已知点为其中一个着火点,且点与直线上两点,的距离分别为和,又,飞机中心周围以内可以受到洒水影响.(1)着火点受洒水影响吗?为什么?(2)若飞机的速度为,要想扑灭着火点估计需要13秒,请你通过计算判断着火点能否被扑灭?37.(2022·苏州期中)如图,在弦图中,正方形的对角线与正方形的对角线交于点,对角线交正方形于,两点,记面积为,面积为,若,,则的值为 .38.(2022·南通期中)如图中,,,.若动点从点开始以每秒1个单位的速度,按的路径运动,设运动的时间为秒,当为 时,为等腰三角形.39.(2022·无锡期中)如图,已知在中,,,,是上的一点,,点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动.设点的运动时间为.连接.(1)当秒时,求的长度(结果保留根号);(2)当为等腰三角形时,求的值;(3)过点作于点.在点的运动过程中,当为何值时,能使?

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