2023-2024学年八年级数学上学期期中专题02 全等三角形中的辅助线与模型（原卷版）

专题02全等三角形中的辅助线与模型倍长中线1．（2022·南通期中）如图，是的边上的中线，，，则的值可以是 A．5 B．6 C．7 D．82．（2022·无锡期中）如图，在中，，，是边上的中线，，则的面积是 ．3．（2022·遵义期中）如图，中，，是的中点，求证：平分．4．（2022·南京月考）已知：和△，、分别为、中点，且，．（1）当，求证：△．（2）当时，求证：△．证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．（3）当时，求证：△．截长补短5．（2022·重庆月考）已知：平分，，．求证：．6．（2022·吉安期中）如图，在中，，均为的角平分线且相交于点．（1）填空： ．（2）求证：．7．（2022·南京期中）如图，在中，，（1）若，，求的度数；（2）若，求证：平分．角平分线模型8．（2022·扬州期中）如图，点是平分线上的一点，，，，则的长不可能是 A．3 B．4 C．5 D．69．（2022·常州期中）如图，的面积为，垂直于的平分线于，则的面积为 A． B． C． D．10．（2022·黄冈期中）如图，中，是的角平分线，，，若的最大值为30，则长为 ．一线三等角模型——三垂直模型11．（2022·杭州期中）如图，在中，，，是经过点的一条直线，且，在的两侧，于，于，，，则的长为 A．2 B．3 C．5 D．412．（2022·南通期中）如图，中，，为上一点，是上一点，且，，若，则的长是 ．13．(2022·无锡期中）如图，，，，则的面积为 A．8 B．12 C．14 D．16手拉手模型（旋转中的全等模型）14．（2022·无锡期中）如图，在中，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接，，交于点，若，则的度数为 ．15．（2022·无锡期中）如图，在和中，，，，且点，，在同一直线上，点，在同侧，连结，交于点．若，则 ．16．（2022·南通期中）如图，在中，，，点是边上的一个动点，连接，以为边作，使，．为的中点，连接，则线段的最小值为 ．【倍长中线】17．（2021·德州期末）（1）方法呈现：如图①：在中，若，，点为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”；（2）探究应用：如图②，在中，点是的中点，于点，交于点，交于点，连接，判断与的大小关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图③，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的角平分线，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．【截长补短】18．（2022·淮安期中）【初步探索】截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．（1）如图1，是等边三角形，点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系；【灵活运用】（2）如图2，为等边三角形，直线，为边上一点，交直线于点，且．求证：；【延伸拓展】（3）如图3，在四边形中，，．若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请直接写出与的数量关系．【一线三等角模型】19．（2022·东台期中）如图1：点、、在一条直线上，，当时，有．理由：，，，请将全等证明过程补充完整．【模型运用】如图，，，求的面积；【能力提升】如图3：在等边中，，分别为、边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点从点向点运动（不与点重合）时，的度数变化吗？如不变请求出它的度数，如变化，请说明它是怎样变化的？20．（2022·连云港期中）在直线上依次取互不重合的三个点，，，在直线上方有，且满足．（1）如图1，当时，猜想线段，，之间的数量关系是 ；（2）如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展与应用：如图3，当时，点为平分线上的一点，且，分别连接，，，，试判断的形状，并说明理由．【手拉手模型（旋转中的全等模型）】21．（2022·南通月考）在中，，点是直线上的一点（不与点、重合），以为腰右侧作等腰三角形，且，，连接．（1）如图1，当点在线段上，如果，则 度．（2）设，．①点是在线段上移动时，如图2，则、之间有怎样的数量关系？试说明理由．②点是在射线上移动时，则、之间有怎样的数量关系？试直接写出结论．22．（2022·徐州期中）在中，，．将一个含角的直角三角尺按图1所示放置，使直角三角尺的直角顶点恰好落在边的中点处，将直角三角尺绕点旋转，设交于点，交于点，示意图如图2所示．（1）证明推断求证：；小明给出的思路：若要证明，只需证明即可，请你根据小明的思路完成证明过程；（2）延伸发现连接，，如图3所示，求证：；（3）迁移应用延长交于点，交于点．在图3中完成如上作图过程，猜想并证明和的位置关系．23．（2022·无锡期中）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．（1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有 ．（2）如图2，已知，以、为边分别向外作等边和等边，并连接，，则 ．（3）如图3，在两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，交于点，请判断和的关系，并说明理由．【半角模型】24．（2022·南京月考）【问题背景】如图1：在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图中线段、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ．【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【学以致用】如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长．