2012年宁夏中考数学试题及答案

2012年宁夏中考数学试卷（教师版）一、选择题（下列每小题所给的四个答案中只有一个是正确的，每小题3分，共24分）1．（3分）下列运算正确的是（ ）A．3a2﹣a2＝3 B．（a2）3＝a5 C．a3•a6＝a9 D．（2a2）2＝4a2【微点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【思路】根据同底数幂的乘法及幂的乘方与积的乘方的性质进行计算．【解析】解：A、应为3a2﹣a2＝2a2，故本选项错误；B、应为（a2）3＝a2×3＝a6，故本选项错误；C、a3•a6＝a3+6＝a9，正确；D、应为（2a）2＝22a2+2＝4a4，故本选项错误．故选：C．【点拨】本题考查合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的性质，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．2．（3分）根据人民网﹣宁夏频道2012年1月18日报道，2011年宁夏地区生产总值为2060亿元，比上年增长12%，增速高于全国平均水平，2060亿元保留两个有效数字用科学记数法表示为（ ）A．2.0×109元 B．2.1×103元 C．2.1×1010元 D．2.1×1011元【微点】科学记数法与有效数字．【思路】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）中n的值是易错点；有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．【解析】解：2060亿元＝206000000000元＝2.06×1011≈2.1×1011，故选：D．【点拨】本题考查学生对科学记数法的掌握和有效数字的运用．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．3．（3分）一个等腰三角形两边的长分别为4和9，那么这个三角形的周长是（ ）A．13 B．17 C．22 D．17或22【微点】三角形三边关系；等腰三角形的性质．【思路】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解析】解：①若4为腰长，9为底边长，由于4+4＜9，则三角形不存在；②9为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为9+9+4＝22．故选：C．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．4．（3分）小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她去学校共用了16分钟．假设小颖上坡路的平均速度是3千米/时，下坡路的平均速度是5千米/时．若设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，根据题意可列方程组为（ ）A． B． C． D．【微点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【思路】两个等量关系为：上坡用的时间+下坡用的时间＝16；上坡用的时间×上坡的速度+下坡用的时间×下坡速度＝1200，把相关数值代入即可求解．【解析】解：可根据所用时间和所走的路程和得到相应的方程组为：故选：B．【点拨】考查用二元一次方程组解决行程问题；得到走不同路段所用时间及所走的路程之和的等量关系是解决本题的关键．解题的关键是统一单位．5．（3分）如图，一根5m长的绳子，一端拴在互相垂直的围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（ ）A．πm2 B．πm2 C．πm2 D．πm2【微点】扇形面积的计算．【思路】小羊A在草地上的最大活动区域是一个扇形+一个小扇形．【解析】解：大扇形的圆心角是90度，半径是5，所以面积m2；小扇形的圆心角是180°﹣120°＝60°，半径是1m，则面积（m2），则小羊A在草地上的最大活动区域面积（m2）．故选：D．【点拨】本题的关键是从图中找到小羊的活动区域是由哪几个图形组成的，然后分别计算即可．6．（3分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO＝CD，则∠PCA＝（ ）A．30° B．45° C．60° D．67.5°【微点】切线的性质．【思路】根据图形利用切线的性质，得到∠COD＝45°，连接AC，∠ACO＝22.5°，所以∠PCA＝90°﹣22.5°＝67.5°．【解析】解：如图，∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥PD，又∵OC＝CD，∴∠COD＝45°，∵AO＝CO，∴∠ACO＝22.5°，∴∠PCA＝90°﹣22.5°＝67.5°．故选：D．【点拨】本题考查的是切线的性质，利用切线的性质得到OC⊥PD，然后进行计算求出∠PCA的度数．7．（3分）一个几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长均为1，那么下列选项中最接近这个几何体的侧面积的是（ ）A．24.0 B．62.8 C．74.2 D．113.0【微点】圆锥的计算；由三视图判断几何体．【思路】由题意可知，几何体是圆锥，根据公式直接求解即可．【解析】解：几何体为圆锥，母线长为5，底面半径为4，则侧面积为πrl＝π×4×5＝20π≈62.8，故选：B．【点拨】本题考查三视图求侧面积问题，考查空间想象能力，是基础题．首先判定该立体图形是圆锥是解决此题的关键．8．（3分）运动会上，初二（3）班啦啦队，买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根．乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的1.5倍，若设甲种雪糕的价格为x元，根据题意可列方程为（ ）A． B． C． D．【微点】由实际问题抽象出分式方程．【思路】若设甲种雪糕的价格为x元，根据等量关系“甲种雪糕比乙种雪糕多20根”可列方程求解．【解析】解：设甲种雪糕的价格为x元，则甲种雪糕的根数：；乙种雪糕的根数：．可得方程：20．故选：B．【点拨】考查了由实际问题抽象出分式方程，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．二、填空题（每小题3分，共24分）9．（3分）当a ≠﹣2 时，分式有意义．【微点】分式有意义的条件．【思路】根据分母不等于0列式计算即可得解．【解析】解：根据题意得，a+2≠0，解得a≠﹣2．故答案为：≠﹣2．【点拨】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．10．（3分）已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形较短的对角线长是 6 ．【微点】勾股定理；菱形的性质．【思路】因为菱形的四条边都相等，所以AB＝AD，又因为∠A＝60°，所以△ABD为等边三角形，所以BD＝6．【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝6．∴菱形较短的对角线长是6．故答案为6．【点拨】此题考查了菱形的性质：菱形的四条边都相等．11．（3分）已知a，b为两个连续整数，且，则a+b＝ 7 ．【微点】估算无理数的大小．【思路】因为32＜13＜42，所以34，求得a、b的数值，进一步求得问题的答案即可．【解析】解：∵32＜13＜42，∴34，即a＝3，b＝b，所以a+b＝7．故答案为：7．【点拨】此题考查无理数的估算，利用平方估算出根号下的数值的取值，进一步得出无理数的取值范围，是解决这一类问题的常用方法．12．（3分）点B（﹣3，4）关于y轴的对称点为A，则点A的坐标是 （3，4） ．【微点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【思路】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．【解析】解：点B（﹣3，4）关于y轴的对称点为A（3，4）．故答案为：（3，4）．【点拨】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．13．（3分）在△ABC中∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则tanA＝ ．【微点】勾股定理；锐角三角函数的定义．【思路】根据勾股定理求出AC的长度，再根据正切计算即可得解．【解析】解：如图，∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，∴AC3，∴tanA．故答案为：．【点拨】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，作出图形更容易理解．14．（3分）如图，C岛在A岛的北偏东45°方向，在B岛的北偏西25°方向，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB＝ 70 度．【微点】方向角．【思路】先求出∠CAB及∠ABC的度数，再根据三角形内角和是180°即可进行解答．【解析】解：连接AB．∵C岛在A岛的北偏东45°方向，在B岛的北偏25°方向，∴∠CAB+∠ABC＝180°﹣（45°+25°）＝110°，∵三角形内角和是180°，∴∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠ABC）＝180°﹣110°＝70°．故答案为：70．【点拨】本题考查的是方向角的概念及三角形内角和定理，根据题意得出∠CAB及∠ABC的度数是解答此题的关键．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，DE⊥AC于E，∠E∠EDA＝1：2，且AC＝10，则DE的长度是 ．【微点】含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质．【思路】根据∠E∠EDA＝1：2，可得∠EDC＝30°，∠EDA＝60°，进而得出△OCD是等边三角形，再由AC＝10，求得DE．【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，AC＝BD＝10，OA＝OCAC＝5，OB＝ODBD＝5，∴OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD，∵∠E∠EDA＝1：2，∠EDC+∠EDA＝90°，∴∠EDC＝30°，∠EDA＝60°，∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°，∴∠DCE＝90°﹣∠EDC＝60°，∴∠ODC＝∠OCD＝60°，∴∠ODC+∠OCD+∠DOC＝180°，∴∠COD＝60°，∴△OCD是等边三角形，DE＝sin60°•OD5，故答案为．【点拨】本题主要考查了勾股定理和矩形的性质，根据已知得出三角形OCD是等边三角形是解题关键，此题难度不大．16．（3分）如图，将等边△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1．若BC＝3，，则BB1＝ 1 ．【微点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理；平移的性质．【思路】过P作PD⊥B1C于D，根据等边三角形和平移性质得出∠PB1C＝∠C＝60°，求出△PCB1是等边三角形，设等边三角形PCB1的边长是2a，得出B1D＝CD＝a，由勾股定理求出PD，根据三角形的面积公式得出2aa，求出a即可．【解析】解：过P作PD⊥B1C于D，∵将等边△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1，∴∠PB1C＝∠C＝60°，∴∠CPB1＝60°，∴△PCB1是等边三角形，设等边三角形PCB1的边长是2a，则B1D＝CD＝a，由勾股定理得：PDa，∵，∴2aa，解得：a＝1，∴B1C＝2，∴BB1＝3﹣2＝1．故答案为：1．【点拨】本题考查了等边三角形的性质，平移的性质，勾股定理，三角形的面积的应用，解此题的关键是得出关于a的方程，题目比较典型，是一道比较好的题目．三、解答题（共24分）17．（6分）计算：．【微点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【思路】根据零指数幂、负整数指数幂、特殊三角函数值和绝对值的运算法则求出各项的值，然后根据四则运算求出结果即可．【解析】解：原式＝6【点拨】本题主要考查实数的运算的知识点，解答本题的关键是掌握零值数幂、负整数指数幂的运算法则，此题比较简单．18．（6分）化简，求值：，其中x．【微点】分式的化简求值．【思路】将分子、分母因式分解，通分化简，再代值计算．【解析】解：原式当x时，原式【点拨】本题考查了分式的化简求值．关键是熟练掌握运算法则，先化简，再代值计算．19．（6分）解不等式组：．【微点】解一元一次不等式组．【思路】分别解两个不等式