2019年江苏省常州市中考数学试卷一、选择题(本大题共8小题,每小题2分,共16分。在每小题所给出的四个选项中,只有一项是正确的)1.(2分)﹣3的相反数是( )A.13 B.-13 C.3 D.﹣32.(2分)若代数式x+1x-3有意义,则实数x的取值范围是( )A.x=﹣1 B.x=3 C.x≠﹣1 D.x≠33.(2分)如图是某几何体的三视图,该几何体是( )A.圆柱 B.正方体 C.圆锥 D.球4.(2分)如图,在线段PA、PB、PC、PD中,长度最小的是( )A.线段PA B.线段PB C.线段PC D.线段PD5.(2分)若△ABC~△A′B'C′,相似比为1:2,则△ABC与△A'B′C'的周长的比为( )A.2:1 B.1:2 C.4:1 D.1:46.(2分)下列各数中与2+3的积是有理数的是( )A.2+3 B.2 C.3 D.2-37.(2分)判断命题“如果n<1,那么n2﹣1<0”是假命题,只需举出一个反例.反例中的n可以为( )A.﹣2 B.-12 C.0 D.128.(2分)随着时代的进步,人们对PM2.5(空气中直径小于等于2.5微米的颗粒)的关注日益密切.某市一天中PM2.5的值y1(ug/m3)随时间t(h)的变化如图所示,设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差(即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差),则y2与t的函数关系大致是( )A. B. C. D.二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分。不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上)9.(2分)计算:a3÷a= .10.(2分)4的算术平方根是 .11.(2分)分解因式:ax2﹣4a= .12.(2分)如果∠α=35°,那么∠α的余角等于 °.13.(2分)如果a﹣b﹣2=0,那么代数式1+2a﹣2b的值是 .14.(2分)平面直角坐标系中,点P(﹣3,4)到原点的距离是 .15.(2分)若x=1,y=2是关于x、y的二元一次方程ax+y=3的解,则a= .16.(2分)如图,AB是⊙O的直径,C、D是⊙O上的两点,∠AOC=120°,则∠CDB= °.17.(2分)如图,半径为3的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切,连接OC,则tan∠OCB= .18.(2分)如图,在矩形ABCD中,AD=3AB=310,点P是AD的中点,点E在BC上,CE=2BE,点M、N在线段BD上.若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等,则MN= .三、解答题(本大题共10小题,共84分。请在答题卡指定区域内作答,如无特殊说明,解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)19.(8分)计算:(1)π0+(12)﹣1﹣(3)2;(x﹣1)(x+1)﹣x(x﹣1).(6分)解不等式组x+1>0,3x-8≤-x,并把解集在数轴上表示出来.21.(8分)如图,把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠,点C落在点C′处,BC′与AD相交于点E.(1)连接AC′,则AC′与BD的位置关系是 ;(2)EB与ED相等吗?证明你的结论.22.(8分)在“慈善一日捐”活动中,为了解某校学生的捐款情况,抽样调查了该校部分学生的捐款数(单位:元),并绘制成下面的统计图.(1)本次调查的样本容量是 ,这组数据的众数为 元;(2)求这组数据的平均数;(3)该校共有600名学生参与捐款,请你估计该校学生的捐款总数.23.(8分)将图中的A型(正方形)、B型(菱形)、C型(等腰直角三角形)纸片分别放在3个盒子中,盒子的形状、大小、质地都相同,再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中.(1)搅匀后从中摸出1个盒子,盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 ;(2)搅匀后先从中摸出1个盒子(不放回),再从余下的2个盒子中摸出1个盒子,把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起,求拼成的图形是轴对称图形的概率.(不重叠无缝隙拼接)(8分)甲、乙两人每小时共做30个零件,甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等.甲、乙两人每小时各做多少个零件?25.(8分)如图,在▱OABC中,OA=22,∠AOC=45°,点C在y轴上,点D是BC的中点,反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点A、D.(1)求k的值;(2)求点D的坐标.26.(10分)【阅读】数学中,常对同一个量(图形的面积、点的个数、三角形的内角和等)用两种不同的方法计算,从而建立相等关系,我们把这一思想称为“算两次”.“算两次”也称做富比尼原理,是一种重要的数学思想.【理解】(1)如图1,两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形.用两种不同的方法计算梯形的面积,并写出你发现的结论;(2)如图2,n行n列的棋子排成一个正方形,用两种不同的方法计算棋子的个数,可得等式:n2= ;【运用】(3)n边形有n个顶点,在它的内部再画m个点,以(m+n)个点为顶点,把n边形剪成若干个三角形,设最多可以剪得y个这样的三角形.当n=3,m=3时,如图3,最多可以剪得7个这样的三角形,所以y=7.①当n=4,m=2时,如图4,y= ;当n=5,m= 时,y=9;②对于一般的情形,在n边形内画m个点,通过归纳猜想,可得y= (用含m、n的代数式表示).请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立.27.(10分)如图,二次函数y=﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,点A的坐标为(﹣1,0),点D为OC的中点,点P在抛物线上.(1)b= ;(2)若点P在第一象限,过点P作PH⊥x轴,垂足为H,PH与BC、BD分别交于点M、N.是否存在这样的点P,使得PM=MN=NH?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若点P的横坐标小于3,过点P作PQ⊥BD,垂足为Q,直线PQ与x轴交于点R,且S△PQB=2S△QRB,求点P的坐标.28.(10分)已知平面图形S,点P、Q是S上任意两点,我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”.例如,正方形的宽距等于它的对角线的长度.(1)写出下列图形的宽距:①半径为1的圆: ;②如图1,上方是半径为1的半圆,下方是正方形的三条边的“窗户形“: ;(2)如图2,在平面直角坐标系中,已知点A(﹣1,0)、B(1,0),C是坐标平面内的点,连接AB、BC、CA所形成的图形为S,记S的宽距为d.①若d=2,用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积(所在区域用阴影表示);②若点C在⊙M上运动,⊙M的半径为1,圆心M在过点(0,2)且与y轴垂直的直线上.对于⊙M上任意点C,都有5≤d≤8,直接写出圆心M的横坐标x的取值范围.2019年江苏省常州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共8小题,每小题2分,共16分。在每小题所给出的四个选项中,只有一项是正确的)1.(2分)﹣3的相反数是( )A.13 B.-13 C.3 D.﹣3【分析】根据相反数的定义:只有符号不同的两个数称互为相反数计算即可.【解答】解:(﹣3)+3=0.故选:C.【点评】本题主要考查了相反数的定义,根据相反数的定义做出判断,属于基础题,比较简单.2.(2分)若代数式x+1x-3有意义,则实数x的取值范围是( )A.x=﹣1 B.x=3 C.x≠﹣1 D.x≠3【分析】分式有意义的条件是分母不为0.【解答】解:∵代数式x+1x-3有意义,∴x﹣3≠0,∴x≠3.故选:D.【点评】本题运用了分式有意义的条件知识点,关键要知道分母不为0是分式有意义的条件.3.(2分)如图是某几何体的三视图,该几何体是( )A.圆柱 B.正方体 C.圆锥 D.球【分析】通过俯视图为圆得到几何体为圆柱或球,然后通过主视图和左视图可判断几何体为圆锥.【解答】解:该几何体是圆柱.故选:A.【点评】本题考查了由三视图判断几何体:由三视图想象几何体的形状,首先,应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状,然后综合起来考虑整体形状.熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助.4.(2分)如图,在线段PA、PB、PC、PD中,长度最小的是( )A.线段PA B.线段PB C.线段PC D.线段PD【分析】由垂线段最短可解.【解答】解:由直线外一点到直线上所有点的连线中,垂线段最短,可知答案为B.故选:B.【点评】本题考查的是直线外一点到直线上所有点的连线中,垂线段最短,这属于基本的性质定理,属于简单题.5.(2分)若△ABC~△A′B'C′,相似比为1:2,则△ABC与△A'B′C'的周长的比为( )A.2:1 B.1:2 C.4:1 D.1:4【分析】直接利用相似三角形的性质求解.【解答】解:∵△ABC~△A′B'C′,相似比为1:2,∴△ABC与△A'B′C'的周长的比为1:2.故选:B.【点评】本题考查了相似三角形的性质:相似三角形的对应角相等,对应边的比相等.相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比;相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比.相似三角形的面积的比等于相似比的平方.6.(2分)下列各数中与2+3的积是有理数的是( )A.2+3 B.2 C.3 D.2-3【分析】利用平方差公式可知与2+3的积是有理数的为2-3;【解答】解:∵(2+3)(2-3)=4﹣3=1;故选:D.【点评】本题考查二次根式的混合运算;熟练掌握运算规律是解题的关键.7.(2分)判断命题“如果n<1,那么n2﹣1<0”是假命题,只需举出一个反例.反例中的n可以为( )A.﹣2 B.-12 C.0 D.12【分析】反例中的n满足n<1,使n2﹣1≥0,从而对各选项进行判断.【解答】解:当n=﹣2时,满足n<1,但n2﹣1=3>0,所以判断命题“如果n<1,那么n2﹣1<0”是假命题,举出n=﹣2.故选:A.【点评】本题考查了命题与定理:命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性,一般需要推理、论证,而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.8.(2分)随着时代的进步,人们对PM2.5(空气中直径小于等于2.5微米的颗粒)的关注日益密切.某市一天中PM2.5的值y1(ug/m3)随时间t(h)的变化如图所示,设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差(即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差),则y2与t的函数关系大致是( )A. B. C. D.【分析】根据极差的定义,分别从t=0、0<t≤10、10<t≤20及20<t≤24时,极差y2随t的变化而变化的情况,从而得出答案.【解答】解:当t=0时,极差y2=85﹣85=0,当0<t≤10时,极差y2随t的增大而增大,最大值为43;当10<t≤20时,极差y2随t的增大保持43不变;当20<t≤24时,极差y2随t的增大而增大,最大值为98;故选:B.【点评】本题主要考查极差,解题的关键是掌握极差的定义及函数图象定义与画法.二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分。不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上)9.(2分)计算:a3÷a= a2 .【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案.【解答】解:a3÷a=a2.故答案为:a2.【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算,正确掌握运算法则是解题关键.10.(2分)4的算术平方根是 2 .【分析】根据算术平方根的含义和求法,求出4的算术平方根是多少即可.【解答】解:4的算术平方根是2.故答案为:2.【点评】此题主要考查了算术平方根的性质和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①被开方数a是非负数;②算术平方根a本身是非负数.求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算,在求一个非负数的算术平方根时,可以借助乘方运算来寻找.11.(2分)分解因式:ax2﹣4a= a(x+2)(x﹣2) .【分析】先提取公因式a,再对余下的多项式利用平
2019年常州市中考数学试题及答案
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