数列递推与通项公式22种归类（解析版）

数列递推与通项公式22种归类目录一、热点题型归纳【题型一】归纳法求通项【题型二】等差等比定义型【题型三】累加法基础：等差等比与裂项求和型【题型四】累加法拔高：换元累加型【题型五】累加法拔高：构造【题型六】累积法【题型七】前n项和型【题型八】二阶等比【题型九】二阶等差数列【题型十】sn与an型：消sn型【题型十一】sn与an型：消an型【题型十二】分式倒数递推【题型十三】新数列前n项和型【题型十四】高次幂取对数型【题型十五】二阶含n等比数列型【题型十六】二阶含n等差数列型【题型十七】因式分解型【题型十八】三阶递推【题型十九】前n项积求通项【题型二十】函数型递推【题型二十一】周期数列【题型二十二】奇偶讨论型二、真题再现三、模拟检测综述：数列求通项以及递推公式的方法和数学思想是学生学习数列思的比较好的切入点。数列大题第一问往往也考察递推公式为主的求通项。这也是第一轮复习的重点之一。一、热点题型归纳【题型一】归纳法求通项【典例分析】1.(2021·全国·高三课时练习)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数.(1)           __________      1        6             11                   16              ()(2)            __________     1        4          7            10           ()(3)            __________         3            8             15              24              ()【答案】        21        13        35【分析】结合图中点的规律即可写出一个通项公式以及横线处所需填的数值.【详解】(1)设第n个图形的点数为an，第n个图形有5个分支,每个分支有n个点，中间的一个是重复，共计算5次，则an=5n-4,a5=21，；(2)设第n个图形的点数为an，第n个图形有3个分支,每个分支有n个点，中间的一个是重复，共计算3次，则an=3n-2,a5=13，；(3)设第n个图形的点数为an，由图可知，第n个图形横方向上有n+2个点，竖方向上有n个点，则an2=nn+21=n+2n,a5=35，.9272.(2021·江苏·高三专题练习)数列-1,1,-,,⋅⋅⋅的一个通项公式为________.573n-1【答案】(-1)n⋅2n-1【分析】根据数列各项所满足的规律可写出结果.012313239332743【详解】∵-1=-1⋅，1=-1⋅，-=-1⋅，=-1⋅，2×1-12×2-152×3-172×4-1n-1n-1n3n3∴一个通项公式为：-1⋅.故答案为：-1⋅.2n-12n-1【提分秘籍】基本规律先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据an与项数n的关系，猜想数列的通项公式，最后再证明.一般这类题，选择题很少，因为可以代特殊值求解。【变式演练】1.(2021·全国·高三课时练习)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an=__________．【答案】5n-4【分析】观察图中点数增加规律是依次增加5，可得求解。【详解】第一图点数是1；第二图点数6=1+5;第三图是11=1+2×5；第四图是16=1+3×5则第n个图点数an=1+(n-1)×5=5n-4故答案为：5n-42.(2018·全国·高三课时练习)若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是11A.a=[1+(-1)n-1]B.a=[1-cos(n·180∘)]n2n21C.a=sin2(n·90∘)D.a=(n-1)(n-2)+[1+(-1)n-1]nn2【答案】D【详解】试题分析：把n=1,2,3,4⋅⋅⋅分别代入A，B，C，D四个选项，A，B，C均成立．在an=(n-1)(n-11112)+[1+(-1)n-1]中，a=0+1+1=1，a=0+1-1=0，a=2+1+1=3，故D不成2122232立，故选D．3.(2018·上海市杨浦高级中学高三期末)已知数列1、0、1、0、⋯，可猜想此数列的通项公式是(    ).n-1*A.an=1+-1n∈N1B.a=1+-1nn∈N*n21C.a=1+-1n+1+n-1n-2n∈N*n21D.a=1-cosnπn∈N*n2【答案】D【分析】利用赋值法逐项排除可得出结果.0【详解】对于A选项，a1=1+-1=2≠1，不合乎题意；1对于B选项，a=×1-1=0≠1，不合乎题意；1214对于C选项，a=×1+-1+2×1=3≠1，不合乎题意；321对于D选项，当n为奇数时，cosnπ=-1，此时a=×1+1=1，n21当n为偶数时，cosnπ=1，此时a=×1-1=0，合乎题意.n2故选：D.【题型二】等差等比定义型【典例分析】1.(2022·全国·高三课时练习)在数列an中，a1=2，an+1=an+2，则数列an的通项公式为________．2【答案】an=2n【分析】根据给定条件可得数列an是等差数列，求出其通项即可计算作答.【详解】由an+1=an+2得：an+1-an=2，而a1=2，于是得数列an是以2为首项，d=2为公差的等差数列，则有an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n，2所以数列an的通项公式为：an=2n.2故答案为：an=2n【提分秘籍】基本规律等差数列判定：①定义法：“欲证等差，直接作差”，即证an+1-an=定值；②等差中项法：即证2an+1=an+an+2；③函数结论法：即an为一次函数或Sn为无常数项的二次函数.等比数列的判定方法：an+1(1)定义法：“欲证等比，直接作比”，即证=q(q≠0的常数)⇔数列{an}是等比数列；an2*(2)等比中项法：即证an+1=an·an+2(anan+1an+2≠0，n∈N)⇔数列{an}是等比数列．【变式演练】1.(2022·河南·模拟预测(文))已知数列an是单调递增的等差数列，若它的前5项的和为105，第2项､第4项､第8项成等比数列，则它的通项公式为(    )7n27nn+1A.a=7n或a=21B.a=C.a=7nD.a=nnn2nn2【答案】C【分析】根据题意列出方程组求解首项与公差即可得解.5×45a1+⋅d=105【详解】设等差数列an的公差为d>0，由题意可得2,2(a1+d)(a1+7d)=(a1+3d)解得a1=d=7，所以an=a1+(n-1)⋅d=7+7n-7=7n.故选：C2.(2019北京·临川学校高三阶段练习(理))成等差数列的三个正数的和等于6，并且这三个数分别加上3、6、13后成为等比数列bn中的b3、b4、b5，则数列bn的通项公式为()n-1n-1n-2n-2A.bn=2B.bn=3C.bn=2D.bn=3【答案】A【详解】设成等差数列的三个正数为a-d，a，a+d，即有3a=6，解得a=2，由题意可得5-d，8，15+d成等比数列，即有5-d15+d=64，解得d=1(-11舍去)，可得公比为2，则数列bn的通项公式为bnn-3n-3n-1=b3⋅2=4⋅2=2，故选A.223.(2021·甘肃·静宁县第一中学高三阶段练习(文))数列an的各项都是正数，a1=2，an+1=an+2，那么此数列的通项公式为an=________．【答案】2n+222222【分析】a1=2，an+1=an+2，即an+1-an=2，可得：数列{an}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出．2222【详解】解：∵a1=2，an+1=an+2，即an+1-an=2，22∴数列{an}是等差数列，公差为2，首项为4．∴an=4+2(n-1)=2n+2，an>0，∴an=2n+2．故答案为：2n+2．【题型三】累加法基础：等差等比与裂项求和型【典例分析】1.(2022·全国·高三专题练习)已知Sn是等差数列an的前n项和，其中S3=6,S4=10，数列bn满足b1=1，且bn+an=bn+1，则数列bn的通项公式为(    )n2+2n2-n+2n2n2+n+2A.B.C.D.2222【答案】B【分析】根据题意列方程组求出a1,d，从而可求出an，然后利用累加法可求出数列bn的通项公式【详解】设等差数列an的公差为d，因为S3=6,S4=10，3×23a1+d=62a1=1所以，解得，所以an=a1+(n-1)d=1+n-1=n，因为bn+an=bn+1，4a+4×3d=10d=112所以bn+1-bn=an=n，所以b2-b1=1，b3-b2=2，b4-b3=3，⋯⋯，bn-bn-1=n-1，n(n-1)n(n-1)n2-n+2所以b-b=1+2+3+⋅⋅⋅+(n-1)=，因为b=1，所以b=+1=，故选：n121n22B【提分秘籍】基本规律累加法：若在已知数列中相邻两项存在：an-an-1=f(n)(n≥2)的关系，可用“累加法”求通项.其中f(n)是常见可求和的数列通项，如等差，等比，和裂项型求和【变式演练】1.(2020·湖南·长郡中学三模(文))已知等比数列an满足8a4-a7=0，a1,a2+1,a3且成等差数列．若数列bn满足bn+1=an+bn(n∈N*)，且b1=1，则数列bn的通项公式bn=A.21-nB.2n-1C.2n+1D.22n+1【答案】Bn【分析】利用题意可得bn+1-bn=2，再利用累加法即可得到通项公式bn.a73【详解】设等比数列的公比为q，∵等比数列an满足8a4-a7=0，∴=q=8，∴q=2，a4又a1,a2+1,a3成等差数列∴2a2+1=a1+a3，即22a1+1=a1+4a1，nn∴a1=2，∴an=2，∴bn+1-bn=2∴bn=bn-bn-1+bn-1-bn-2+⋯+b2-b1+b1=2n-1+2n-2+⋯+2+1=2n-1.故选B32.(2020·内蒙古·包头市第六中学高三期中)在数列{an}中,a=3,a=a+,则通项公式an1n+1nn(n+1)=______.3【答案】a=6-nn311【分析】变换得到a-a==3-，利用累加法计算得到答案.n+1nn(n+1)nn+13311【详解】a=a+，故a-a==3-.n+1nn(n+1)n+1nn(n+1)nn+1133a=a-a+a-a+...+a-a+a=31-+3=6-.故答案为：a=6-.nnn-1n-1n-2211nnnn【题型四】累加法拔高：换元累加型【典例分析】an+1an11.在数列a中，a=2，=+ln1+，则a=()n1n+1nnnA.a8B.2+n-1lnnC.1+n+lnnD.2n+nlnn全国Ⅰ卷2021届高三高考临考仿真冲刺卷数学(文)试题(四)【答案】Dan+1ann+1anan-1nan-1an-2n-1a2【详解】由题意得，=+ln，则=+ln，=+ln⋯，=n+1nnnn-1n-1n-1n-2n-22a12+ln，11ana1nn-12annn-12由累加法得，=+ln+ln⋯+ln，即=a+ln⋅⋅⋯⋅，n1n-1n-21n1n-1n-21a则n=2+lnn，所以a=2n+nlnn，故选：Dnn【提分秘籍】基本规律通过换元，转化为an-an-1=f(n)(n≥2)累加求通项，最后再反解回去。【变式演练】*1.已知数列an满足：a1=13，(n+1)an+1-nan=2n+1，n∈N，则下列说法正确的是()A.an+1≥anB.an+1≤anC.数列an的最小项为a3和a4D.数列an的